Transforme cada equação polar a seguir em uma equação em coordenadas cartesianas, e identifique o tipo de curva representada.
(d) r=sin theta+cos theta

Passo 1

O enunciado nos dá a curva em coordenadas polares
r = sintheta + costheta
e pede para transformá-la em coordenadas cartesianas. Vamos usar as relações
x = rcostheta, y = rsintheta, r^2 = x^2 + y^2
para obter uma equação em x e y, e em seguida identificar o tipo de curva.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados da equação polar por r, pois assim teremos r^2 no lado esquerdo, que se relaciona diretamente com x^2+y^2.
r = sintheta + costheta Longrightarrow r^2 = rsintheta + rcostheta

Passo 3

Agora substituímos r^2 = x^2 + y^2, rsintheta = y e rcostheta = x na expressão obtida em bloco.
x^2 + y^2 = y + x

Passo 4

Para reconhecer o tipo de curva, completamos quadrados em x e em y.
x^2 - x + y^2 - y = 0 Longrightarrow l(x - tfrac12r)^2 - tfrac14 + l(y - tfrac12r)^2 - tfrac14 = 0
l(x - tfrac12r)^2 + l(y - tfrac12r)^2 = tfrac12

Passo 5

A equação
l(x - tfrac12r)^2 + l(y - tfrac12r)^2 = tfrac12
é a equação de uma circunferência de centro l(tfrac12,tfrac12r) e raio tfrac1raiz2.

Resposta

A equação cartesiana é
l(x - tfrac12r)^2 + l(y - tfrac12r)^2 = tfrac12,
que representa uma circunferência de centro l(tfrac12,tfrac12r) e raio tfrac1raiz2.

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