Analise a existência ou não dos seguintes limites: \lim _{(x, y) \rightarrow(1,2)} f(x, y) e \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y).

Passo 1

O enunciado pede claramente duas coisas:
  • Verificar a existência do limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,2)} f(x,y).
  • Verificar a existência do limite \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y).
Informações dadas pelo enunciado:
  • Os pontos de interesse são (1,2) e (0,0).
  • Não foi fornecida a expressão da função f(x,y).
Conclusão deste passo: com a informação disponível não há uma definição explícita de f. Sem conhecer f não é possível calcular numericamente nem decidir rigorosamente se os limites existem para casos específicos. Nos próximos passos vou explicar, didaticamente, como se analisa esse tipo de limite em geral — para que você saiba exatamente o que fazer na prova caso a função seja dada — e mostrar exemplos que ilustram situações diferentes.

Passo 2

O que significa “existir o limite” em duas variáveis (definição e ideia):
  • A definição: \displaystyle \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L significa que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta, temos |f(x,y)-L|<\varepsilon.
  • Intuição prática: ao aproximarmos o ponto (x,y) de (a,b) por qualquer caminho no plano, os valores de f(x,y) precisam ficar arbitrariamente próximos de um mesmo número L. Se diferentes caminhos dão limites diferentes, o limite não existe.

Passo 3

Métodos práticos que costumam ser usados na prova (lista e explicação de quando usar cada um):
  1. Teste de continuidade direta:
    • Se f for uma combinação de funções contínuas (polinômios, somas, produtos, quocientes quando denominador diferente de zero, exponenciais, etc.) e estiver definida em (a,b) de forma compatível, então \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=f(a,b).
    • Exemplo: se f(x,y)=x^2+3y, então \lim_{(x,y)\to(1,2)} f(x,y)=1^2+3\cdot2=7.
  2. Teste por caminhos (para mostrar que o limite NÃO existe):
    • Escolher duas curvas distintas que chegam ao ponto e calcular o limite restrito a cada curva; se os resultados forem diferentes, o limite não existe.
    • Processo: parametrizar a curva (por exemplo y=kx, y=mx+n, x=t, y=t^2, etc.), substituir e passar t\to valor correspondente.
  3. Coordenadas polares (útil para (0,0)):
    • Trocar x=r\cos\theta, y=r\sin\theta. Se na expressão resultante o valor quando r\to0 for independente de \theta, então esse é o limite; se depender de \theta, o limite não existe.
  4. Teorema do confronto (squeeze) e ordens em r:
    • Se |f(x,y)|\le g(r) com g(r)\to0 quando r\to0, então f\to0.
  5. Analisar tipo de singularidade (por exemplo denominador que zera no ponto): pode dar limite infinito, inexistência, ou valor finito dependendo do numerador.

Passo 4

Exemplos que ilustram cada caso (com cálculos passo a passo) — importante para saber o que fazer na prova.
Exemplo A — limite existe e é o valor da função (continuidade):
  • Seja f(x,y)=\dfrac{x^2+y^2+1}{x+y+3}. Como numerador e denominador são polinômios e o denominador em (1,2) vale 1+2+3=6\neq0, f é contínua em (1,2). Logo
\lim_{(x,y)\to(1,2)} f(x,y)=f(1,2)=\dfrac{1^2+2^2+1}{1+2+3}=\dfrac{1+4+1}{6}=\dfrac{6}{6}=1.
Exemplo B — limite não existe por caminhos diferentes:
  • Considere g(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2} (definida fora de (0,0); estendendo em (0,0) dá problema).
    • Pelo caminho y=x: g(x,x)=\dfrac{x\cdot x}{x^2+x^2}=\dfrac{x^2}{2x^2}=\dfrac{1}{2} para x\neq0. Assim \lim_{x\to0} g(x,x)=\dfrac{1}{2}.
    • Pelo caminho y=0: g(x,0)=0. Assim \lim_{x\to0} g(x,0)=0.
    • Como \dfrac{1}{2}\neq0, \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} g(x,y) NÃO existe.
    • Comentário prático: este é o teste de caminhos — basta achar duas curvas com limites diferentes.
Exemplo C — usar coordenadas polares e squeeze (limite existe):
  • h(x,y)= (x^2+y^2)\sin\!\big(\tfrac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\big).
    • Em polares: h=r^2\sin(1/r).
    • Como |\sin(1/r)|\le1, tem |h|\le r^2. Quando r\to0, r^2\to0. Pelo confronto, h\to0. Logo \lim_{(x,y)\to(0,0)} h(x,y)=0.
Exemplo D — dependência de trajetória mais sutil (usar curvas y=kx^2):
  • p(x,y)=\dfrac{x^2 y}{x^4+y^2}.
    • Ao tomar y=kx^2 com x\to0: substituindo dá
    p(x,kx^2)=\dfrac{x^2\cdot kx^2}{x^4+(kx^2)^2}=\dfrac{kx^4}{x^4+k^2x^4}=\dfrac{k}{1+k^2}.
    • O limite depende de k. Como diferentes k dão diferentes valores, \lim_{(x,y)\to(0,0)} p(x,y) não existe.

Passo 5

Checklist prático (passo a passo que eu faria numa prova ao ver uma função f):
  1. Verificar se f é explicitamente dada. Se não, não dá para decidir numericamente (como aqui).
  2. Para o ponto (1,2):
    • Se f for composta de funções contínuas e bem definida em (1,2), responder que o limite existe e é f(1,2).
    • Se houver denominação que zera em (1,2) ou outra singularidade, investigar limite por caminhos e simplificações locais.
  3. Para o ponto (0,0):
    • Tentar primeiro polar: escreva f(r,\theta). Se o limite quando r\to0 for independente de \theta, existe.
    • Se polar falhar (aparecer dependência em \theta), tente escolher caminhos específicos (linhas y=mx, parábolas y=kx^2, eixo y=0, etc.) até encontrar dependência em parâmetro — isso prova inexistência.
    • Se for possível, use squeeze para provar que o limite é 0.
  4. Sempre checar se a diferença entre valores ao longo de dois caminhos pode ser usada para mostrar não existência.

Passo 6

Resumo das armadilhas comuns (para não errar na prova):
  • Não confunda “não dá para calcular diretamente” com “não existe o limite”. Às vezes a função tem limite mesmo que não seja óbvio.
  • Um único caminho é insuficiente para provar existência; é suficiente para provar inexistência quando encontra-se dois caminhos com limites distintos.
  • Para pontos fora da origem, verificar continuidade costuma ser a rota mais rápida.
  • Para a origem, coordenadas polares e curvas y=kx^p são as ferramentas físicas mais usadas.

Passo 7

Aplicação ao enunciado concreto que você mandou:
  • O problema, do jeito que foi escrito, pede a análise dos dois limites, mas NÃO fornece a expressão de f(x,y).
  • Sem a expressão de f não há como aplicar nenhum dos testes acima de forma conclusiva para esses limites específicos.

Resposta

Para \displaystyle \lim_{(x,y)\to(1,2)} f(x,y): não é possível determinar — a função f(x,y) não foi fornecida.
Para \displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y): não é possível determinar — a função f(x,y) não foi fornecida.

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