Analise a existência ou não dos seguintes limites:
e
.
Passo 1
O enunciado pede claramente duas coisas:
- Verificar a existência do limite
. - Verificar a existência do limite
.
Informações dadas pelo enunciado:
- Os pontos de interesse são
e . - Não foi fornecida a expressão da função
.
Conclusão deste passo: com a informação disponível não há uma definição explícita de
. Sem conhecer
não é possível calcular numericamente nem decidir rigorosamente se os limites existem para casos específicos. Nos próximos passos vou explicar, didaticamente, como se analisa esse tipo de limite em geral — para que você saiba exatamente o que fazer na prova caso a função seja dada — e mostrar exemplos que ilustram situações diferentes.
Passo 2
O que significa “existir o limite” em duas variáveis (definição e ideia):
- A definição:
significa que para todo existe tal que, sempre que , temos . - Intuição prática: ao aproximarmos o ponto
de por qualquer caminho no plano, os valores de precisam ficar arbitrariamente próximos de um mesmo número . Se diferentes caminhos dão limites diferentes, o limite não existe.
Passo 3
Métodos práticos que costumam ser usados na prova (lista e explicação de quando usar cada um):
- Teste de continuidade direta:
- Se
for uma combinação de funções contínuas (polinômios, somas, produtos, quocientes quando denominador diferente de zero, exponenciais, etc.) e estiver definida em de forma compatível, então . - Exemplo: se
, então .
- Se
- Teste por caminhos (para mostrar que o limite NÃO existe):
- Escolher duas curvas distintas que chegam ao ponto e calcular o limite restrito a cada curva; se os resultados forem diferentes, o limite não existe.
- Processo: parametrizar a curva (por exemplo
, , , , etc.), substituir e passar valor correspondente.
- Coordenadas polares (útil para
): - Trocar
, . Se na expressão resultante o valor quando for independente de , então esse é o limite; se depender de , o limite não existe.
- Trocar
- Teorema do confronto (squeeze) e ordens em
: - Se
com quando , então .
- Se
- Analisar tipo de singularidade (por exemplo denominador que zera no ponto): pode dar limite infinito, inexistência, ou valor finito dependendo do numerador.
Passo 4
Exemplos que ilustram cada caso (com cálculos passo a passo) — importante para saber o que fazer na prova.
Exemplo A — limite existe e é o valor da função (continuidade):
- Seja
. Como numerador e denominador são polinômios e o denominador em vale , é contínua em . Logo
Exemplo B — limite não existe por caminhos diferentes:
- Considere
(definida fora de ; estendendo em dá problema). - Pelo caminho
: para . Assim . - Pelo caminho
: . Assim . - Como
, NÃO existe. - Comentário prático: este é o teste de caminhos — basta achar duas curvas com limites diferentes.
- Pelo caminho
Exemplo C — usar coordenadas polares e squeeze (limite existe):
-
. - Em polares:
. - Como
, tem . Quando , . Pelo confronto, . Logo .
- Em polares:
Exemplo D — dependência de trajetória mais sutil (usar curvas
):
-
. - Ao tomar
com : substituindo dá
- O limite depende de
. Como diferentes dão diferentes valores, não existe.
- Ao tomar
Passo 5
Checklist prático (passo a passo que eu faria numa prova ao ver uma função
):
- Verificar se
é explicitamente dada. Se não, não dá para decidir numericamente (como aqui). - Para o ponto
: - Se
for composta de funções contínuas e bem definida em , responder que o limite existe e é . - Se houver denominação que zera em
ou outra singularidade, investigar limite por caminhos e simplificações locais.
- Se
- Para o ponto
: - Tentar primeiro polar: escreva
. Se o limite quando for independente de , existe. - Se polar falhar (aparecer dependência em
), tente escolher caminhos específicos (linhas , parábolas , eixo , etc.) até encontrar dependência em parâmetro — isso prova inexistência. - Se for possível, use squeeze para provar que o limite é 0.
- Tentar primeiro polar: escreva
- Sempre checar se a diferença entre valores ao longo de dois caminhos pode ser usada para mostrar não existência.
Passo 6
Resumo das armadilhas comuns (para não errar na prova):
- Não confunda “não dá para calcular diretamente” com “não existe o limite”. Às vezes a função tem limite mesmo que não seja óbvio.
- Um único caminho é insuficiente para provar existência; é suficiente para provar inexistência quando encontra-se dois caminhos com limites distintos.
- Para pontos fora da origem, verificar continuidade costuma ser a rota mais rápida.
- Para a origem, coordenadas polares e curvas
são as ferramentas físicas mais usadas.
Passo 7
Aplicação ao enunciado concreto que você mandou:
- O problema, do jeito que foi escrito, pede a análise dos dois limites, mas NÃO fornece a expressão de
. - Sem a expressão de
não há como aplicar nenhum dos testes acima de forma conclusiva para esses limites específicos.
Resposta
Para
: não é possível determinar — a função
não foi fornecida.
Para
: não é possível determinar — a função
não foi fornecida.