Utilize o Método dos Mínimos Quadrados para ajustar a tabela de dados:
\boldsymbol{x}
\boldsymbol{y}
-1
1
0
-1
1
2
2
3
Por um polinômio de grau 3 .
Passo 1
O enunciado fornece quatro pares (x,y):
(-1,1),\quad (0,-1),\quad (1,2),\quad (2,3).
O que se pede: ajustar esses pontos por um polinômio de grau 3. Ou seja, encontrar os coeficientes do polinômio de grau três que melhor se ajusta aos dados pelo Método dos Mínimos Quadrados. Como há exatamente quatro pontos e queremos um polinômio de grau 3 (quatro coeficientes), o ajuste por mínimos quadrados coincide com a interpolação exata: o polinômio deve passar por todos os pontos.
Passo 2
Breve explicação do Método dos Mínimos Quadrados (didática): a ideia é escolher o polinômio cujo vetor de coeficientes minimiza a soma dos quadrados dos resíduos r_i = y_i - p(x_i). Se escrevemos o polinômio em termos de coeficientes (a,b,c,d) como abaixo, montamos a matriz de projeto X e o vetor de observações \mathbf{y}. As equações normais são
X^{T}X\mathbf{p}=X^{T}\mathbf{y},
onde \mathbf{p} é o vetor de coeficientes. No caso com 4 pontos e polinômio de grau 3, a matriz X é quadrada 4\times4 e (neste caso) invertível, então a solução dos mínimos quadrados é exatamente a solução direta do sistema linear
X\mathbf{p}=\mathbf{y},
ou seja, determinar um polinômio que passe por todos os pontos (interpolação). Vamos montar e resolver esse sistema.
Passo 3
Escolhemos a forma geral do polinômio de grau 3:
p(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d,
onde a,b,c,d são os coeficientes a determinar. Substituindo cada ponto obtemos quatro equações lineares. Para (x,y)=(-1,1):
- a + b - c + d = 1.
Para (x,y)=(0,-1):
d = -1.
Para (x,y)=(1,2):
a + b + c + d = 2.
Para (x,y)=(2,3):
8a + 4b + 2c + d = 3.
Passo 4
Usar a equação d=-1 e substituir nas demais. Substituindo em -a+b-c+d=1 dá:
- a + b - c -1 = 1 \quad\Rightarrow\quad -a + b - c = 2.
Substituindo em a+b+c+d=2 dá:
a + b + c -1 = 2 \quad\Rightarrow\quad a + b + c = 3.
Com b=\dfrac{5}{2}, use a segunda equação a+b+c=3 para obter uma relação entre a e c:
a + c = 3 - b = 3 - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}.
Da terceira equação 8a+4b+2c=4 dividimos por 2 para simplificar:
4a + 2b + c = 2.
Substituindo b=\dfrac{5}{2} nessa última:
4a + 2\cdot\frac{5}{2} + c = 2 \quad\Rightarrow\quad 4a + 5 + c = 2 \quad\Rightarrow\quad 4a + c = -3.
Passo 7
Agora resolvemos o sistema simples em a\) e \(c\):
\[\begin{cases} a + c = \dfrac{1}{2},\\[6pt] 4a + c = -3. \end{cases}
Subtrair a primeira da segunda para eliminar (c]: (4a+c)-(a+c)= -3 - \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad 3a = -\frac{7}{2}.
Portanto a = -\frac{7}{6}.
E então c = \frac{1}{2} - a = \frac{1}{2} -\left(-\frac{7}{6}\right)=\frac{1}{2}+\frac{7}{6}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}.]
Passo 8
Recapitulando os coeficientes encontrados:
a = -\frac{7}{6},\qquad b = \frac{5}{2},\qquad c = \frac{5}{3},\qquad d = -1.