Utilize o Método dos Mínimos Quadrados para ajustar a tabela de dados:
\boldsymbol{x} \boldsymbol{y}
-1 1
0 -1
1 2
2 3
Por um polinômio de grau 2 .

Passo 1

O enunciado pede ajustar por mínimos quadrados um polinômio de grau 2 aos pontos dados na tabela. Os pontos são (peguei esses valores do enunciado):
  • (x_1,y_1)=(-1,1)
  • (x_2,y_2)=(0,-1)
  • (x_3,y_3)=(1,2)
  • (x_4,y_4)=(2,3)
O que quero encontrar é um polinômio
p(x)=a x^{2}+b x+c
que minimize a soma dos quadrados dos erros (resíduos) entre y_i e p(x_i). A incógnita é o vetor de coeficientes (a,b,c).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática):
  • Para cada ponto (x_i,y_i) o erro (resíduo) é r_i=y_i-p(x_i)=y_i-(a x_i^{2}+b x_i+c).
  • O método dos mínimos quadrados escolhe a,b,c que minimizam a soma dos quadrados dos resíduos:
S(a,b,c)=\sum_{i=1}^{4} r_i^{2}=\sum_{i=1}^{4}\bigl(y_i-(a x_i^{2}+b x_i+c)\bigr)^{2}.
  • Para minimizar S em relação a a,b,c derivamos parcialmente e igualamos a zero:
\frac{\partial S}{\partial a}=0,\qquad \frac{\partial S}{\partial b}=0,\qquad \frac{\partial S}{\partial c}=0.
  • Essas três equações dão um sistema linear (as chamadas equações normais). Multiplicando a expressão do modelo por x_i^{2}, por x_i e por 1 e somando, obtemos as equações normais diretamente; isso evita fazer derivadas dos quadrados aqui e dá o mesmo resultado.

Passo 3

Construção das equações normais (forma padrão):
\begin{cases} \displaystyle \sum_{i} x_i^{4}\,a + \displaystyle \sum_{i} x_i^{3}\,b + \displaystyle \sum_{i} x_i^{2}\,c = \displaystyle \sum_{i} x_i^{2}y_i,\\[6pt] \displaystyle \sum_{i} x_i^{3}\,a + \displaystyle \sum_{i} x_i^{2}\,b + \displaystyle \sum_{i} x_i\,c = \displaystyle \sum_{i} x_i y_i,\\[6pt] \displaystyle \sum_{i} x_i^{2}\,a + \displaystyle \sum_{i} x_i\,b + \displaystyle \sum_{i} 1 \cdot c = \displaystyle \sum_{i} y_i. \end{cases}
Agora calculo todas as somas necessárias usando os dados (mostrando cada soma):
n=\sum_{i}1=4.
\sum_{i} x_i = (-1)+0+1+2 = 2.
\sum_{i} x_i^{2} = (-1)^{2}+0^{2}+1^{2}+2^{2}=1+0+1+4=6.
\sum_{i} x_i^{3} = (-1)^{3}+0^{3}+1^{3}+2^{3}=-1+0+1+8=8.
\sum_{i} x_i^{4} = (-1)^{4}+0^{4}+1^{4}+2^{4}=1+0+1+16=18.
\sum_{i} y_i = 1+(-1)+2+3 = 5.
\sum_{i} x_i y_i = (-1)\cdot 1 + 0\cdot(-1) + 1\cdot 2 + 2\cdot 3 = -1+0+2+6 = 7.
\sum_{i} x_i^{2} y_i = (-1)^{2}\cdot 1 + 0^{2}\cdot(-1) + 1^{2}\cdot 2 + 2^{2}\cdot 3 = 1+0+2+12 = 15.]

Passo 4

Substituindo as somas nas equações normais obtemos o sistema linear:
\begin{cases} 18\,a + 8\,b + 6\,c = 15,\\[4pt] 8\,a + 6\,b + 2\,c = 7,\\[4pt] 6\,a + 2\,b + 4\,c = 5. \end{cases}
Esse sistema é equivalente às equações normais para ajustar p(x)=ax^{2}+bx+c.]

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo (eliminação):
  • Primeiro, faço combinações para eliminar c. Multiplico a segunda equação por 3 e subtraio a primeira:
3\cdot(8a+6b+2c)=24a+18b+6c=21.
Subtraindo a primeira ( 18a+8b+6c=15):
(24-18)a+(18-8)b+(6-6)c=21-15
6a+10b=6.
Dividindo por 2:
3a+5b=3. \tag{E1}
  • Agora multiplico a terceira equação por 3 e subtraio a primeira para eliminar a:
3\cdot(6a+2b+4c)=18a+6b+12c=15.
Subtraindo a primeira ( 18a+8b+6c=15):
(18-18)a+(6-8)b+(12-6)c=15-15
-2b+6c=0.
Dividindo por 2:
-b+3c=0 \quad\Rightarrow\quad b=3c. \tag{E2}
  • Substituo b=3c em (E1):
3a+5(3c)=3 \quad\Rightarrow\quad 3a+15c=3.
Dividindo por 3:
a+5c=1 \quad\Rightarrow\quad a=1-5c. \tag{E3}
  • Uso a terceira equação original para achar c. A terceira equação é
6a+2b+4c=5.
Substituo a e b em termos de c usando (E2) e (E3):
6(1-5c)+2(3c)+4c=5.
Faço as contas:
6-30c+6c+4c=5 \quad\Rightarrow\quad 6-20c=5.
-20c=5-6=-1 \quad\Rightarrow\quad c=\frac{1}{20}.
  • Agora calculo b e a usando (E2) e (E3):
b=3c=3\cdot\frac{1}{20}=\frac{3}{20}.
a=1-5c=1-5\cdot\frac{1}{20}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.

Passo 6

Interpretação dos coeficientes e checagem rápida:
  • Temos os coeficientes exatos
a=\frac{3}{4},\qquad b=\frac{3}{20},\qquad c=\frac{1}{20}.
  • Escrevendo o polinômio:
p(x)=\frac{3}{4}x^{2}+\frac{3}{20}x+\frac{1}{20}.
  • (Checagem rápida nos pontos)
    • p(-1)=\tfrac{3}{4}\cdot 1 + \tfrac{3}{20}\cdot(-1) + \tfrac{1}{20} = \tfrac{3}{4}-\tfrac{3}{20}+\tfrac{1}{20} = \tfrac{3}{4}-\tfrac{2}{20}=\tfrac{3}{4}-\tfrac{1}{10}=\tfrac{15-2}{20}=\tfrac{13}{20}=0,65 (resíduo 1-0,65=0,35).
    • p(0)=\tfrac{1}{20}=0,05 (resíduo -1-0,05=-1,05).
    • p(1)=\tfrac{3}{4}+\tfrac{3}{20}+\tfrac{1}{20}=\tfrac{3}{4}+\tfrac{4}{20}=\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{5}=\tfrac{15+4}{20}=\tfrac{19}{20}=0,95 (resíduo 2-0,95=1,05).
    • p(2)=\tfrac{3}{4}\cdot4+\tfrac{3}{20}\cdot2+\tfrac{1}{20}=3+\tfrac{6}{20}+\tfrac{1}{20}=3+\tfrac{7}{20}=3,35 (resíduo 3-3,35=-0,35).
  • Esses resíduos mostram simetria: os pontos extremos têm resíduos de sinal oposto e os internos também; a soma dos resíduos ponderados conforme as equações normais fica nula — isso confirma o ajuste via mínimos quadrados.
Dica prática para a prova: monte sempre as somas \sum x^{k} e \sum x^{k}y até k=4 para grau 2, escreva as equações normais e resolva o sistema por eliminação. Leve cuidado só com contas aritméticas.

Resposta

p(x)=\frac{3}{4}x^{2}+\frac{3}{20}x+\frac{1}{20}

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