Analise se as funções abaixo são harmônicas.
f(z)=e^z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se a função $ f(z) = \overline{e^{z}} $ é harmônica. O conteúdo aqui envolve funções harmônicas, que são aquelas que satisfazem a equação de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função harmônica, como calcular a parte real e imaginária de uma função complexa, e aplicar a equação de Laplace nessas partes.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função harmônica. Uma função real $ u(x, y) $ é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
u(x, y)
No contexto de funções complexas, se $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $ é uma função, para ela ser harmônica, tanto $ u $ quanto $ v $ precisam ser funções harmônicas.

Passo 3

Vamos analisar a função dada: $ f(z) = \overline{e^{z}} $. Primeiro, precisamos encontrar a forma explícita dessa função. Sabemos que $ e^{z} = e^{x + iy} = e^{x} (\cos y + i \sin y) $. Então, o conjugado disso é:
f(z) = e^z
Isso nos dá a parte real $ u(x, y) = e^{x} \cos y $ e a parte imaginária $ v(x, y) = -e^{x} \sin y $.

Passo 4

Agora, vamos verificar se $ u $ e $ v $ são harmônicas aplicando a equação de Laplace.
Para $ u(x, y) = e^{x} \cos y $:
u
v
Somando as duas derivadas:
u(x, y) = e^x cos y
Então, $ u $ é harmônica.
Para $ v(x, y) = -e^{x} \sin y $:
partial^2 upartial x^2 = e^x cos y
partial^2 upartial y^2 = -e^x cos y
Somando as duas derivadas:
e^x cos y - e^x cos y = 0
Parece que houve um erro aqui. Vamos recalcular a segunda derivada em relação a $ y $ de $ v $.

Passo 5

Corrigindo a segunda derivada de $ v $ em relação a $ y $:
v
y
Agora, somando:
partial vpartial y = -e^x cos y
Então, $ v $ também é harmônica.

Resposta

Sim, a função $ f(z) = \overline{e^{z}} $ é harmônica.

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