Analise se as funções abaixo são harmônicas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se a função $ f(z) = \overline{e^{z}} $ é harmônica. O conteúdo aqui envolve funções harmônicas, que são aquelas que satisfazem a equação de Laplace. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função harmônica, como calcular a parte real e imaginária de uma função complexa, e aplicar a equação de Laplace nessas partes.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função harmônica. Uma função real $ u(x, y) $ é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
No contexto de funções complexas, se $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $ é uma função, para ela ser harmônica, tanto $ u $ quanto $ v $ precisam ser funções harmônicas.
Passo 3
Vamos analisar a função dada: $ f(z) = \overline{e^{z}} $. Primeiro, precisamos encontrar a forma explícita dessa função. Sabemos que $ e^{z} = e^{x + iy} = e^{x} (\cos y + i \sin y) $. Então, o conjugado disso é:
Isso nos dá a parte real $ u(x, y) = e^{x} \cos y $ e a parte imaginária $ v(x, y) = -e^{x} \sin y $.
Passo 4
Agora, vamos verificar se $ u $ e $ v $ são harmônicas aplicando a equação de Laplace.
Para $ u(x, y) = e^{x} \cos y $:
Somando as duas derivadas:
Então, $ u $ é harmônica.
Para $ v(x, y) = -e^{x} \sin y $:
Somando as duas derivadas:
Parece que houve um erro aqui. Vamos recalcular a segunda derivada em relação a $ y $ de $ v $.
Passo 5
Corrigindo a segunda derivada de $ v $ em relação a $ y $:
Agora, somando:
Então, $ v $ também é harmônica.
Resposta
Sim, a função $ f(z) = \overline{e^{z}} $ é harmônica.