Analise se as funções abaixo são harmônicas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função $ f(z) = e^{-y}(\cos x - i \sin x) $ é harmônica. Isso se encaixa no conteúdo de funções harmônicas da matemática, que estão relacionadas com soluções da equação de Laplace. Para resolver, vamos precisar mostrar que as partes real e imaginária da função satisfazem a equação de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes real e imaginária da função $ f(z) $. A função pode ser escrita como $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $, onde:
- $ u(x, y) = e^{-y} \cos x $ (parte real)
- $ v(x, y) = -e^{-y} \sin x $ (parte imaginária)
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que significa uma função ser harmônica. Uma função $ \phi(x, y) $ é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
Então, precisamos verificar se tanto $ u(x, y) $ quanto $ v(x, y) $ satisfazem essa equação.
Passo 4
Vamos começar com a parte real $ u(x, y) = e^{-y} \cos x $. Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Primeira derivada em relação a $ x $:
Segunda derivada em relação a $ x $:
Primeira derivada em relação a $ y $:
Segunda derivada em relação a $ y $:
Passo 5
Agora, somamos as segundas derivadas de $ u $:
Como a soma deu zero, $ u(x, y) $ satisfaz a equação de Laplace.
Passo 6
Vamos fazer o mesmo para a parte imaginária $ v(x, y) = -e^{-y} \sin x $.
Primeira derivada em relação a $ x $:
Segunda derivada em relação a $ x $:
Primeira derivada em relação a $ y $:
Segunda derivada em relação a $ y $:
Passo 7
Agora, somamos as segundas derivadas de $ v $:
Também aqui, a soma deu zero, então $ v(x, y) $ também satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
Como tanto a parte real $ u(x, y) $ quanto a parte imaginária $ v(x, y) $ da função $ f(z) $ satisfazem a equação de Laplace, concluímos que $ f(z) = e^{-y}(\cos x - i \sin x) $ é uma função harmônica.