Analise se as funções abaixo são harmônicas.
f(z)=e^-y(cos x-i sin x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a função $ f(z) = e^{-y}(\cos x - i \sin x) $ é harmônica. Isso se encaixa no conteúdo de funções harmônicas da matemática, que estão relacionadas com soluções da equação de Laplace. Para resolver, vamos precisar mostrar que as partes real e imaginária da função satisfazem a equação de Laplace.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes real e imaginária da função $ f(z) $. A função pode ser escrita como $ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) $, onde:
  • $ u(x, y) = e^{-y} \cos x $ (parte real)
  • $ v(x, y) = -e^{-y} \sin x $ (parte imaginária)

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que significa uma função ser harmônica. Uma função $ \phi(x, y) $ é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
phi(x, y)
Então, precisamos verificar se tanto $ u(x, y) $ quanto $ v(x, y) $ satisfazem essa equação.

Passo 4

Vamos começar com a parte real $ u(x, y) = e^{-y} \cos x $. Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
Primeira derivada em relação a $ x $:
u(x, y) = e^-y cos x
Segunda derivada em relação a $ x $:
x
Primeira derivada em relação a $ y $:
partial upartial x = -e^-y sin x
Segunda derivada em relação a $ y $:
x

Passo 5

Agora, somamos as segundas derivadas de $ u $:
u
Como a soma deu zero, $ u(x, y) $ satisfaz a equação de Laplace.

Passo 6

Vamos fazer o mesmo para a parte imaginária $ v(x, y) = -e^{-y} \sin x $.
Primeira derivada em relação a $ x $:
v(x, y) = -e^-y sin x
Segunda derivada em relação a $ x $:
x
Primeira derivada em relação a $ y $:
partial vpartial x = -e^-y cos x
Segunda derivada em relação a $ y $:
x

Passo 7

Agora, somamos as segundas derivadas de $ v $:
v
Também aqui, a soma deu zero, então $ v(x, y) $ também satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

Como tanto a parte real $ u(x, y) $ quanto a parte imaginária $ v(x, y) $ da função $ f(z) $ satisfazem a equação de Laplace, concluímos que $ f(z) = e^{-y}(\cos x - i \sin x) $ é uma função harmônica.

Exercícios relacionados