A partir das equações de Cauchy-Riemann, verifique quais funções abaixo são analíticas e em que domínio. Caso positivo, calcule a sua derivada f^prime(z).
w=e^z

Passo 1

Beleza, a gente tem a função
f(z)=e^z
e precisa ver se ela é analítica (ou seja, holomorfa) em algum domínio. Para isso, vamos usar as equações de Cauchy–Riemann em coordenadas reais . Se der certo, ainda calculamos .

Passo 2

Primeiro escrevemos e^z = e^x+iy = e^x(cos y + isin y), em termos de f(z)=e^z=e^x(cos y - isin y) e . Sabemos que
então a conjugada é
Logo, e .

Passo 3

Agora calculamos as derivadas parciais:
ux = partialpartial x(e^xcos y)=e^xcos y, uy = partialpartial y(e^xcos y)=-,e^xsin y,
vx = partialpartial x(-e^xsin y)=-,e^xsin y, vy = partialpartial y(-e^xsin y)=-,e^xcos y

Passo 4

As equações de Cauchy–Riemann são
ux = vy e uy = -,vx
Substituindo:
  1. e .
    Pra ter , precisa de , ou seja .
  2. e .
    Pra ter , precisa de , ou seja .
Mas não existe valor de que faça simultaneamente e .

Passo 5

Como as condições de Cauchy–Riemann não se satisfazem em nenhum ponto (exceto, hipoteticamente, isoladamente, mas sem formar um domínio aberto), a função não é analítica em nenhum domínio.

Resposta

A função não é analítica em nenhum domínio, logo não possui derivada complexa em lugar nenhum.

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