Calcule os limites.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! Aqui a gente precisa calcular
. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites, especialmente lidando com expressões que resultam em indeterminações como
. Vamos precisar usar algumas técnicas de cálculo de limites, como a regra de L’Hospital ou a expansão em série de Taylor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se de fato temos uma indeterminação. Substituindo
na expressão, temos:
Isso é uma indeterminação do tipo
, o que significa que precisamos aplicar uma técnica para resolver.
Passo 3
Uma das maneiras de resolver esse tipo de limite é usando a Regra de L’Hospital, que nos diz que se temos
ou
, então podemos calcular:
onde
e
são as derivadas de
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos identificar
e
na nossa expressão:
Agora, precisamos encontrar as derivadas
e
.
Passo 5
Calculando
:
Calculando
:
Passo 6
Aplicando a Regra de L’Hospital:
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão obtida:
Resposta
O limite é
.