Calcule os limites.
lim z 0 (1+z)^14-1z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! Aqui a gente precisa calcular lim z 0 (1+z)^14 -1z. O conteúdo envolvido aqui é o cálculo de limites, especialmente lidando com expressões que resultam em indeterminações como 00. Vamos precisar usar algumas técnicas de cálculo de limites, como a regra de L’Hospital ou a expansão em série de Taylor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se de fato temos uma indeterminação. Substituindo z = 0 na expressão, temos:
(1+0)^14 -10 = 1 - 10 = 00
Isso é uma indeterminação do tipo 00, o que significa que precisamos aplicar uma técnica para resolver.

Passo 3

Uma das maneiras de resolver esse tipo de limite é usando a Regra de L’Hospital, que nos diz que se temos limz to a f(z)g(z) = 00 ou inftyinfty, então podemos calcular:
limz to a f(z)g(z) = limz to a f'(z)g'(z)
onde f'(z) e g'(z) são as derivadas de f(z) e g(z), respectivamente.

Passo 4

Vamos identificar f(z) e g(z) na nossa expressão:
f(z) = (1+z)^14 - 1 e g(z) = z
Agora, precisamos encontrar as derivadas f'(z) e g'(z).

Passo 5

Calculando f'(z):
f(z) = (1+z)^14 - 1 f'(z) = 14(1+z)^14 - 1 cdot 1 = 14(1+z)^-34
Calculando g'(z):
g(z) = z g'(z) = 1

Passo 6

Aplicando a Regra de L’Hospital:
limz to 0 (1+z)^14 -1z = limz to 0 f'(z)g'(z) = limz to 0 14(1+z)^-341

Passo 7

Agora, substituímos z = 0 na expressão obtida:
14(1+0)^-34 = 14(1)^-34 = 14 cdot 1 = 14

Resposta

O limite é 14.

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