Analise se as funções abaixo são harmônicas.
f(z)=e^y sin x

Passo 1

Vamos analisar se a função $ f(z) = e^{y} \sin x $ é harmônica. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a equação de Laplace. Precisamos verificar se a função satisfaz a equação de Laplace, que é uma condição para que uma função seja harmônica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma função $ u(x, y) $ é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
u(x, y)
No nosso caso, $ u(x, y) = e^{y} \sin x $. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 3

Calculando a primeira derivada de $ u $ em relação a $ x $:
u
E a segunda derivada em relação a $ x $:
x

Passo 4

Agora, calculamos a primeira derivada de $ u $ em relação a $ y $:
u
E a segunda derivada em relação a $ y $:
y

Passo 5

Somando as segundas derivadas:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = -e^y sin x + e^y sin x = 0
Como a soma das segundas derivadas é igual a zero, a função $ u(x, y) $ satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

A função $ f(z) = e^{y} \sin x $ é harmônica.

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