Analise se as funções abaixo são harmônicas.
Passo 1
Vamos analisar se a função $ f(z) = e^{y} \sin x $ é harmônica. Para isso, vamos utilizar o conteúdo de cálculo diferencial, especificamente a equação de Laplace. Precisamos verificar se a função satisfaz a equação de Laplace, que é uma condição para que uma função seja harmônica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma função $ u(x, y) $ é harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
No nosso caso, $ u(x, y) = e^{y} \sin x $. Vamos calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 3
Calculando a primeira derivada de $ u $ em relação a $ x $:
E a segunda derivada em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, calculamos a primeira derivada de $ u $ em relação a $ y $:
E a segunda derivada em relação a $ y $:
Passo 5
Somando as segundas derivadas:
Como a soma das segundas derivadas é igual a zero, a função $ u(x, y) $ satisfaz a equação de Laplace.
Resposta
A função $ f(z) = e^{y} \sin x $ é harmônica.