Analise se as funções abaixo são harmônicas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a função $ f(z) = e^{-y} \cos x $ é harmônica. Mas, o que é uma função harmônica? Basicamente, uma função é harmônica se ela satisfaz a Equação de Laplace, que é uma equação diferencial usada para várias aplicações em física e matemática. Para verificar isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas da função em relação a $ x $ e $ y $ e ver se a soma delas é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função. Aqui, $ z $ é uma variável complexa, mas estamos trabalhando com as partes reais e imaginárias dela, que são $ x $ e $ y $ respectivamente. Então, podemos reescrever a função em termos de $ x $ e $ y $:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 3
Vamos começar calculando a segunda derivada em relação a $ x $:
Primeira derivada em $ x $:
Segunda derivada em $ x $:
Agora, vamos calcular a segunda derivada em relação a $ y $:
Primeira derivada em $ y $:
Segunda derivada em $ y $:
Passo 4
Agora, somamos as segundas derivadas:
Resposta
Como a soma das segundas derivadas é igual a zero, a função $ f(z) = e^{-y} \cos x $ é harmônica.