Analise se as funções abaixo são harmônicas.
f(z)=e^-y cos x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que analisar se a função $ f(z) = e^{-y} \cos x $ é harmônica. Mas, o que é uma função harmônica? Basicamente, uma função é harmônica se ela satisfaz a Equação de Laplace, que é uma equação diferencial usada para várias aplicações em física e matemática. Para verificar isso, vamos precisar calcular as segundas derivadas da função em relação a $ x $ e $ y $ e ver se a soma delas é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função. Aqui, $ z $ é uma variável complexa, mas estamos trabalhando com as partes reais e imaginárias dela, que são $ x $ e $ y $ respectivamente. Então, podemos reescrever a função em termos de $ x $ e $ y $:
z
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 3

Vamos começar calculando a segunda derivada em relação a $ x $:
Primeira derivada em $ x $:
x
Segunda derivada em $ x $:
x
Agora, vamos calcular a segunda derivada em relação a $ y $:
Primeira derivada em $ y $:
partial upartial x = -e^-y sin x
Segunda derivada em $ y $:
x

Passo 4

Agora, somamos as segundas derivadas:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = -e^-y cos x + e^-y cos x = 0

Resposta

Como a soma das segundas derivadas é igual a zero, a função $ f(z) = e^{-y} \cos x $ é harmônica.

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