Encontre o trabalho realizado pelo campo de força:
F=2 x y ax+(x^2-z^2) ay-3 x z^2 a
sobre uma partícula que se desloca de A(0,0,0) até B(2,1,3) ao longo:
(a) Do segmento (0,0,0) (0,1,0) (2,1,0) (2,1,3)

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente achar o trabalho
W=integralC Fcdot d r
do campo vetorial
F=2xy, ax+(x^2-z^2), ay-3xz^2, az
ao longo de um caminho em três segmentos:
(0,0,0)→(0,1,0), depois (0,1,0)→(2,1,0) e por fim (2,1,0)→(2,1,3).
O conteúdo é integral de linha de campo vetorial. Vamos precisar parametrizar cada pedaço do caminho, calcular em cada parametrização, fazer o produto escalar e integrar.

Passo 2

Trecho 1: de A(0,0,0) até B(0,1,0).
Parametrização:
r1(t)=(0,t,0), tin[0,1]
Então
d r1=(0,1,0),dt
No caminho, F=l(2cdot0cdot t,,0^2-0^2,,-3cdot0cdot0^2r) =(0,0,0) , W1=integral0^1 0,dt=0 , . Logo
Isso significa .
Integral no trecho 1:

Passo 3

Trecho 2: de (0,1,0) até (2,1,0).
Parametrização:
r2(t)=(t,1,0), tin[0,2]
d r2=(1,0,0),dt
Aqui F=l(2tcdot1,;t^2-0,;-3tcdot0r)=(2t,;t^2,;0) , Fcdot d r2=(2t,t^2,0)cdot(1,0,0)=2t , W2=integral0^2 2t,dt =2cdott^22|0^2 =2cdot2=4 . Então
O produto escalar fica
Integramos de 0 a 2:

Passo 4

Trecho 3: de (2,1,0) até (2,1,3).
Parametrização:
r3(t)=(2,1,t), tin[0,3]
d r3=(0,0,1),dt
Agora F=l(2cdot2cdot1,;2^2-t^2,;-3cdot2cdot t^2r) =(4,;4-t^2,;-6t^2) , Fcdot d r3=(4,4-t^2,-6t^2)cdot(0,0,1)=-6t^2 , W3=integral0^3(-6t^2),dt =-6cdott^33|0^3 =-2cdot27 =-54 . Então
O produto escalar:
Integramos de 0 a 3:

Resposta

Somando as três partes:
W=W1+W2+W3=0+4+(-54)=-50
Portanto, o trabalho realizado é .

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