Encontre o trabalho realizado pelo campo de força:
sobre uma partícula que se desloca de até ao longo:
(a) Do segmento
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente achar o trabalho
do campo vetorial
ao longo de um caminho em três segmentos:
(0,0,0)→(0,1,0), depois (0,1,0)→(2,1,0) e por fim (2,1,0)→(2,1,3).
O conteúdo é integral de linha de campo vetorial. Vamos precisar parametrizar cada pedaço do caminho, calcular em cada parametrização, fazer o produto escalar e integrar.
Passo 2
Trecho 1: de A(0,0,0) até B(0,1,0).
Parametrização:
Então
No caminho, , , . Logo
Isso significa .
Integral no trecho 1:
Passo 3
Trecho 2: de (0,1,0) até (2,1,0).
Parametrização:
Aqui , , . Então
O produto escalar fica
Integramos de 0 a 2:
Passo 4
Trecho 3: de (2,1,0) até (2,1,3).
Parametrização:
r3(t)=(2,1,t), tin[0,3]
d r3=(0,0,1),dt
Agora F=l(2cdot2cdot1,;2^2-t^2,;-3cdot2cdot t^2r) =(4,;4-t^2,;-6t^2) , Fcdot d r3=(4,4-t^2,-6t^2)cdot(0,0,1)=-6t^2 , W3=integral0^3(-6t^2),dt =-6cdott^33|0^3 =-2cdot27 =-54 . Então