Análise de Funções Definidas por Partes:
  • Verifique a continuidade da função g\) no ponto \((0,0)\) : \[g(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
  • Verifique a continuidade da função f\] no ponto \((0,0) :
f(x, y)= \begin{cases}\frac{3 x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá duas funções definidas por partes e pede para verificar a continuidade em [(0,0)) de cada uma:
  • Função g:
g(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
  • Função (f]:
    f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
O que se pede, para cada função, é determinar se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \text{(expressão da função)} = \text{valor definido em }(0,0)ãçã
ou seja, verificar se o limite (quando existe) coincide com o valor dado no ponto, o que caracteriza continuidade em (0,0).]

Passo 2

Lembrete prático sobre continuidade em um ponto: uma função h(x,y) é contínua em (0,0) se e somente se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} h(x,y)
existe e é igual a h(0,0). Uma maneira prática de testar existência de limite em \mathbb{R}^2 é:
  • procurar dependência do ângulo de aproximação (usar coordenadas polares),
  • ou comparar limites ao longo de diferentes retas/curvas. Se dois caminhos dão limites diferentes, o limite não existe.
    Para provar que o limite é 0 (quando for o caso), é útil obter uma desigualdade do tipo |h(x,y)| \le C\cdot r com r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, porque então |h(x,y)|\to0 quando r\to0.
Agora aplicamos isso a cada função.

Passo 3

Análise da função g. Usar coordenadas polares é muito conveniente: ponha
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}>0.
Substituindo em \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} obtemos (para (x,y)\neq(0,0), isto é r>0):
\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} =\frac{r^{2}\cos^{2}\theta - r^{2}\sin^{2}\theta}{r^{2}} =\cos^{2}\theta-\sin^{2}\theta =\cos(2\theta).
Portanto, ao aproximar (x,y) de (0,0) pelos pontos com mesma direção \theta (isto é, fixando \theta e fazendo r\to0), o valor da expressão tende para \cos(2\theta), que depende de \theta e não de r.
Como consequência, o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} não existe, porque varia com a direção de aproximação. Para deixar isso bem claro, avalie em duas direções simples:
  • Ao aproximar pela reta y=0 (isto é \theta=0) obtém-se
\lim_{(x,0)\to(0,0)} \frac{x^{2}-0}{x^{2}+0} = 1,
pois \cos(2\cdot 0)=\cos 0=1.
  • Ao aproximar pela reta x=0 (isto é \theta=\tfrac{\pi}{2}) obtém-se
\lim_{(0,y)\to(0,0)} \frac{0-y^{2}}{0+y^{2}} = -1,
pois \cos(2\cdot\tfrac{\pi}{2})=\cos\pi=-1.
Dois caminhos dão limites diferentes ( 1 e -1), logo o limite total não existe. Como g(0,0)=0 está definido, e o limite não existe (portanto não é igual a 0), concluímos que g não é contínua em (0,0).

Passo 4

Análise da função f. Novamente use coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta.
Substituindo em \dfrac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} para r>0 obtemos
\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} =\frac{3 r^{2}\cos^{2}\theta \cdot (r\sin\theta)}{r^{2}} =3r\cos^{2}\theta\sin\theta.
Portanto, para qualquer \theta fixo,
\lim_{r\to0} 3r\cos^{2}\theta\sin\theta = 0,
porque há um fator r multiplicando uma quantidade dependente apenas de \theta.
Para formalizar com uma desigualdade útil (para aplicar o teorema do aperto/sandwich): note que
\left| \frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} \right| = |3r\cos^{2}\theta\sin\theta| =3r\cdot |\cos^{2}\theta\sin\theta| \le 3r,
pois |\cos^{2}\theta\sin\theta|\le 1 para todo \theta. Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to0 quando (x,y)\to(0,0), isso garante que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}} = 0.
Como f(0,0)=0, o limite coincide com o valor da função no ponto, logo f é contínua em (0,0).

Passo 5

(Prova epsilon-delta curta e prática para f, para fins de treino/admissão em prova.)
Queremos mostrar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \Rightarrow \left|\dfrac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}-0\right|<\varepsilon. Usando a desigualdade do passo anterior:
\left|\frac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|\le 3r,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Basta escolher \delta=\dfrac{\varepsilon}{3}. Então, se r<\delta temos \left| \dfrac{3x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}\right|\le 3r<3\delta=\varepsilon. Isso prova formalmente continuidade de f em (0,0).

Resposta

g não é contínua em (0,0).\n
f é contínua em (0,0).

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