Limites Trigonométricos e Coordenadas Polares:
- Utilizando a técnica de coordenadas polares ou limites fundamentais, calcule:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
da função
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão depende apenas de
e de . - O ponto de interesse é
.
O que se pede: calcular
Passo 2
Passo técnico inicial (mudança de variável radial): defina
Quando
tem-se
. Reescrevendo a expressão em função de
(peguei
a partir de
):
Portanto o limite bidimensional reduz-se ao limite unidimensional
Passo 3
Lembrete das regras fundamentais que vou usar (explicando cada variável):
- A limite fundamental do seno: para qualquer variável real
,
Isto significa que, para
muito pequeno,
é muito bem aproximado por
.
- Uma identidade trigonométrica útil:
Usando essa identidade e a primeira propriedade com a variável
, obtemos
Como
quando
, segue que
Outra aplicação direta do limite fundamental (com
) dá
Passo 4
Agora manipulo a razão para usar os limites acima. Escrevo:
Tomando limite em
e usando os resultados do passo anterior:
-
. -
.
Portanto
Passo 5
Interpretação rápida e checagem intuitiva: para
pequeno,
e
, logo a razão aproxima-se de
. Isso confirma o resultado rigoroso acima.