Limites Trigonométricos e Coordenadas Polares:
  • Utilizando a técnica de coordenadas polares ou limites fundamentais, calcule:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{\operatorname{sen}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{1-\cos \sqrt{x^{2}+y^{2}}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando (x,y)\to(0,0) da função
\frac{\operatorname{sen}\!\big(x^{2}+y^{2}\big)}{1-\cos\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão depende apenas de x^{2}+y^{2} e de \sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O ponto de interesse é (x,y)=(0,0).
    O que se pede: calcular
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{\operatorname{sen}\!\big(x^{2}+y^{2}\big)}{1-\cos\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 2

Passo técnico inicial (mudança de variável radial): defina
r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge 0.
Quando (x,y)\to(0,0) tem-se r\to 0^+. Reescrevendo a expressão em função de r (peguei r a partir de x^2+y^2):
\frac{\operatorname{sen}\!\big(x^{2}+y^{2}\big)}{1-\cos\sqrt{x^{2}+y^{2}}} = \frac{\operatorname{sen}\!\big(r^{2}\big)}{1-\cos r}.
Portanto o limite bidimensional reduz-se ao limite unidimensional
\lim_{r\to 0^+}\frac{\operatorname{sen}\!\big(r^{2}\big)}{1-\cos r}.

Passo 3

Lembrete das regras fundamentais que vou usar (explicando cada variável):
  • A limite fundamental do seno: para qualquer variável real t,
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Isto significa que, para t muito pequeno, \sin t é muito bem aproximado por t.
  • Uma identidade trigonométrica útil:
1-\cos r = 2\sin^{2}\!\left(\frac{r}{2}\right).
Usando essa identidade e a primeira propriedade com a variável u=\dfrac{r}{2}, obtemos
\frac{1-\cos r}{r^{2}} = \frac{2\sin^{2}\!\left(\dfrac{r}{2}\right)}{r^{2}} = \frac{1}{2}\left(\frac{\sin\!\left(\dfrac{r}{2}\right)}{\dfrac{r}{2}}\right)^{2}.
Como \dfrac{\sin u}{u}\to 1 quando u\to 0, segue que
\lim_{r\to 0}\frac{1-\cos r}{r^{2}}=\frac{1}{2}.
Outra aplicação direta do limite fundamental (com t=r^{2}) dá
\lim_{r\to 0}\frac{\sin\!\big(r^{2}\big)}{r^{2}}=1.

Passo 4

Agora manipulo a razão para usar os limites acima. Escrevo:
\frac{\sin\!\big(r^{2}\big)}{1-\cos r} = \frac{\sin\!\big(r^{2}\big)}{r^{2}}\cdot\frac{r^{2}}{1-\cos r} = \frac{\sin\!\big(r^{2}\big)}{r^{2}}\cdot\frac{1}{\dfrac{1-\cos r}{r^{2}}}.
Tomando limite em r\to 0 e usando os resultados do passo anterior:
  • \displaystyle\lim_{r\to 0}\dfrac{\sin(r^{2})}{r^{2}}=1.
  • \displaystyle\lim_{r\to 0}\dfrac{1-\cos r}{r^{2}}=\dfrac{1}{2}.
    Portanto
\lim_{r\to 0}\frac{\sin\!\big(r^{2}\big)}{1-\cos r} =1\cdot\frac{1}{1/2}=2.

Passo 5

Interpretação rápida e checagem intuitiva: para r pequeno, \sin(r^{2})\approx r^{2} e 1-\cos r\approx \dfrac{r^{2}}{2}, logo a razão aproxima-se de \dfrac{r^{2}}{r^{2}/2}=2. Isso confirma o resultado rigoroso acima.

Resposta

2

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