QUESTÃO 1

Considere a curva em coordenadas polares
r=\sqrt{1+\cos ^{2}(5 \theta)}
A área da região determinada por essa curva é igual a:
(A) \frac{3 \pi}{20}
(B) \frac{\pi}{2}
(C) \pi
(D) \frac{3 \pi}{2}
(E) 2 \pi

Passo 1

O enunciado dá a curva em coordenadas polares
r=\sqrt{1+\cos^{2}(5\theta)}
e pergunta qual é a área da região determinada por essa curva, oferecendo as alternativas (A) a (E). Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A fórmula explícita de r em função de \theta.
  • Não há singularidades (porque 1+\cos^{2}(5\theta)\ge 1), então r é sempre positiva.
    O que é pedido: calcular a área total da região descrita pela curva e escolher a alternativa correta.

Passo 2

Fórmula que vamos usar (ideia e significado das variáveis).
  • Em coordenadas polares, a área de uma pequena fatia entre \theta e \theta+d\theta é aproximadamente a área de um setor circular de raio r e ângulo d\theta, isto é \tfrac{1}{2}r^{2}d\theta.
  • Assim a área total de uma curva polar r(\theta) numa variação de \theta é
A=\frac{1}{2}\int r(\theta)^{2}\,d\theta,
onde r(\theta) é a função do raio e a integral é tomada sobre um intervalo de \theta que percorre toda a região sem contá-la múltiplas vezes. Aqui A é a área procurada, r(\theta) é o raio (distância ao origem) e \theta é o ângulo polar.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso.
  • Primeiro calculemos r^{2}. A partir de r=\sqrt{1+\cos^{2}(5\theta)} segue
r^{2}=1+\cos^{2}(5\theta).
  • Precisamos escolher o intervalo de integração. A função \cos^{2}(5\theta) tem período \pi/5 (porque \cos^{2}u tem período \pi e aqui u=5\theta). Assim a curva se repete a cada \pi/5 em \theta. Para obter a área total podemos:
    • integrar de 0 a 2\pi diretamente, ou
    • integrar em um período mínimo [0,\pi/5] e multiplicar pelo número de repetições que cobrem 2\pi, que é 2\pi/(\pi/5)=10.
      Ambas as abordagens dão o mesmo resultado; aqui vou integrar de 0 a 2\pi, que é direto e cobre todas as repetições ao redor do círculo.

Passo 4

Cálculo da integral.
A=\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\bigl(1+\cos^{2}(5\theta)\bigr)\,d\theta =\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta+\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}(5\theta)\,d\theta\right).
Calcule cada integral separadamente:
  • \displaystyle \int_{0}^{2\pi}1\,d\theta = 2\pi.
  • Para \displaystyle \int_{0}^{2\pi}\cos^{2}(5\theta)\,d\theta usamos a identidade de redução
\cos^{2}u=\frac{1+\cos(2u)}{2}.
Com u=5\theta obtemos
\cos^{2}(5\theta)=\frac{1+\cos(10\theta)}{2}.
Então
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}(5\theta)\,d\theta =\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}1\,d\theta+\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\cos(10\theta)\,d\theta =\frac{1}{2}\cdot 2\pi + \frac{1}{2}\cdot\left[\frac{\sin(10\theta)}{10}\right]_{0}^{2\pi}.
A segunda parcela com \sin(10\theta) é zero entre 0 e 2\pi. Portanto
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}(5\theta)\,d\theta = \pi.

Passo 5

Juntando os resultados:
A=\frac{1}{2}\left(2\pi + \pi\right)=\frac{1}{2}\cdot 3\pi=\frac{3\pi}{2}.
Como checagem rápida: integrando num único período [0,\pi/5] e multiplicando por 10 também dá o mesmo, e a área por período é \dfrac{3\pi}{20}, de modo que 10\cdot\dfrac{3\pi}{20}=\dfrac{3\pi}{2}.

Resposta

(D) \dfrac{3\pi}{2}

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