QUESTÃO 1
Considere a curva em coordenadas polares
A área da região determinada por essa curva é igual a:
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá a curva em coordenadas polares
e pergunta qual é a área da região determinada por essa curva, oferecendo as alternativas (A) a (E). Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A fórmula explícita de
em função de . - Não há singularidades (porque
), então é sempre positiva.
O que é pedido: calcular a área total da região descrita pela curva e escolher a alternativa correta.
Passo 2
Fórmula que vamos usar (ideia e significado das variáveis).
- Em coordenadas polares, a área de uma pequena fatia entre
e é aproximadamente a área de um setor circular de raio e ângulo , isto é . - Assim a área total de uma curva polar
numa variação de é
onde
é a função do raio e a integral é tomada sobre um intervalo de
que percorre toda a região sem contá-la múltiplas vezes. Aqui
é a área procurada,
é o raio (distância ao origem) e
é o ângulo polar.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso.
- Primeiro calculemos
. A partir de segue
- Precisamos escolher o intervalo de integração. A função
tem período (porque tem período e aqui ). Assim a curva se repete a cada em . Para obter a área total podemos: - integrar de
a diretamente, ou - integrar em um período mínimo
e multiplicar pelo número de repetições que cobrem , que é .
Ambas as abordagens dão o mesmo resultado; aqui vou integrar dea , que é direto e cobre todas as repetições ao redor do círculo.
- integrar de
Passo 4
Cálculo da integral.
Calcule cada integral separadamente:
-
- Para
usamos a identidade de redução
Com
obtemos
Então
A segunda parcela com
é zero entre
e
. Portanto
Passo 5
Juntando os resultados:
Como checagem rápida: integrando num único período
e multiplicando por
também dá o mesmo, e a área por período é
, de modo que
.
Resposta
(D)