Determine o maior conjunto D \subset \mathbb{R}^{2}\) no qual a função abaixo é contínua:
\[f(x, y)= \begin{cases}\frac{x^{2} y^{3}}{2 x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 1, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
Identifique a região do plano na qual a função (f(x, y)=\frac{x{2}-y{2}}{x{2}+y{2}}] é contínua, descrevendo formalmente o seu domínio de definição.
Passo 1
O enunciado tem duas partes claras:
Parte A: Determinar o maior conjunto D\subset\mathbb{R}^2\) no qual a função
\[f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 1, & \text{se }(x,y)=(0,0) \end{cases}
é contínua.
Parte B: Identificar a região do plano onde a função
g(x,y)=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
é contínua, e descrever formalmente o seu domínio de definição.
Informações relevantes fornecidas:
Ambas as funções são dadas por quocientes de polinômios quando o denominador é não nulo.
Os denominadores são 2x^{2}+y^{2}\] na Parte A e \(x^{2}+y^{2} na Parte B.
A Parte A dá um valor explícito f(0,0)=1, então é necessário verificar a continuidade em (0,0).
Em ambos os casos, é preciso prestar atenção ao ponto onde o denominador pode ser zero.]
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática curta): uma função dada por quociente de polinômios
\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}
é contínua em todos os pontos onde Q(x,y)\neq 0. Isso vem do fato que polinômios são contínuos e que a divisão por uma função contínua não nula preserva continuidade. Então, para cada função, o primeiro passo é achar onde o denominador se anula.
Para a Parte A, o denominador é 2x^{2}+y^{2}. Vamos ver onde ele é zero:
2x^{2}+y^{2}=0 \qquad\Longrightarrow\qquad x=0 \text{ e } y=0,
porque 2x^{2}\ge0 e y^{2}\ge0, soma zero só se ambos forem zero. Logo o denominador só se anula em (0,0). Portanto a expressão racional \dfrac{x^{2}y^{3}}{2x^{2}+y^{2}} é bem definida e contínua em todo \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.
Para a Parte B, o denominador é x^{2}+y^{2}. Ele se anula exatamente quando x=0 e y=0. Portanto a função racional \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}} está bem definida e é contínua em \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}.
Até aqui: ambas as funções são contínuas em todos os pontos salvo possivelmente na origem (0,0). Resta verificar a continuidade em (0,0) na Parte A (na Parte B a função nem está definida em (0,0), então não faz sentido testar continuidade aí — mas é bom notar que o domínio exclui a origem).
Passo 3
Vamos estudar o comportamento de f quando (x,y)\to(0,0) para decidir se f é contínua na origem. Lembrete: f é contínua em (0,0) exatamente quando
Se o limite valer 1, então contínua; se o limite existir e for diferente de 1 ou se não existir, então f não é contínua em (0,0).
Método: para limites em \mathbb{R}^2 em torno da origem é muito prático usar coordenadas polares porque elas factoram a dependência radial (distância ao origem) e a dependência angular. Isso permite ver se a expressão tende a zero (ou outro valor) quando a distância ao origem vai a zero, independentemente da direção.
Explicando polar (rapidamente): escrevemos
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,
onde r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\ge0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo. Fazer r\to0^{+} representa (x,y)\to(0,0) por várias direções \theta.
Passo 4
Aplicando coordenadas polares na expressão para (x,y)\neq(0,0):
Como r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\to 0 quando (x,y)\to(0,0), segue que r^{3}\to 0. Pelo Teorema do confronto (ou simplesmente pelo fato que um termo dominante r^{3} vai a zero), concluímos que
Comparando com o valor dado pela definição da função,
f(0,0)=1,
vemos que o limite ao aproximar-se da origem é 0\neq 1. Portanto f não é contínua em (0,0). Juntando com o que foi dito no Passo 2 (continuidade em todo ponto onde o denominador é não nulo), o maior conjunto D onde f é contínua é
D=\mathbb{R}^{2}\setminus\{(0,0)\}.
Passo 7
Para a função da Parte B, g(x,y)=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, o denominador se anula só em (0,0). A função é, portanto, definida exatamente em
Como é quociente de polinômios com denominador não nulo nesse conjunto, g é contínua em todo esse domínio. (Não faz sentido falar em continuidade em (0,0) porque g não está definida ali.)