Analise as funções. A função é Covexa? Tem ponto de inflexão?
f(x)=\exp \left(x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para verificar duas propriedades de
f(x)=\exp\bigl(x^2\bigr):
  1. Se f é convexa.
  2. Se existe ponto de inflexão.
    Vamos usar o teste da segunda derivada: calcular f' e f'' e analisar o sinal de f''(x).

Passo 2

Aplicando regra da cadeia, temos
f'(x)=\frac{d}{dx}\exp\bigl(x^2\bigr)=2x\,\exp\bigl(x^2\bigr).
Derivando novamente,
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2x\,e^{x^2}\bigr) =2\,e^{x^2}+2x\cdot\bigl(2x\,e^{x^2}\bigr) =(2+4x^2)\,e^{x^2}.

Passo 3

Observando
2+4x^2>0\quad\text{e}\quad e^{x^2}>0\quad\forall x\in\mathbb{R},
segue que
f''(x)=(2+4x^2)e^{x^2}>0\quad\forall x\in\mathbb{R}.
Como f''(x) é sempre positiva, f é estritamente convexa em todo o domínio e não há mudança de concavidade. Portanto não existe ponto de inflexão.

Resposta

A função f(x)=\exp(x^2) é estritamente convexa em \mathbb{R} e não possui ponto de inflexão.

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