Analise as funções. A função é Covexa? Tem ponto de inflexão?
f(x)=(x-1)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convexidade de f(x)=(x-1)^{3} e verificar se há ponto de inflexão. Vamos usar derivadas até a segunda para estudar convexidade (sinal de f'') e condição de inflexão (zero de f'' com troca de sinal).

Passo 2

Calculamos a primeira e a segunda derivada:
f'(x)=3(x-1)^{2},
f''(x)=6(x-1).

Passo 3

Para convexidade, examinamos o sinal de f''(x)=6(x-1):
- Se x<1, então x-1<0 e f''(x)<0, logo f é côncava para x<1.
- Se x>1, então x-1>0 e f''(x)>0, logo f é convexa para x>1.
Como f'' muda de sinal em x=1, f não é convexa em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Um ponto de inflexão ocorre onde f''(x_{0})=0 e há troca de sinal de f''. Como
f''(1)=6(1-1)=0
e f'' passa de negativo para positivo ao atravessar x=1, concluímos que há inflexão em x=1.

Resposta

A função não é convexa em \mathbb{R}; ela é côncava para x<1 e convexa para x>1.
Há ponto de inflexão em x=1.

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