Analise as funções. A função é Covexa? Tem ponto de inflexão?
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convexidade de
e verificar se há ponto de inflexão. Vamos usar derivadas até a segunda para estudar convexidade (sinal de
) e condição de inflexão (zero de
com troca de sinal).
Passo 2
Calculamos a primeira e a segunda derivada:
Passo 3
Para convexidade, examinamos o sinal de
:
- Se , então
e
, logo
é côncava para
.
- Se , então
e
, logo
é convexa para
.
Como muda de sinal em
,
não é convexa em todo
.
- Se
- Se
Como
Passo 4
Um ponto de inflexão ocorre onde
e há troca de sinal de
. Como
e
passa de negativo para positivo ao atravessar
, concluímos que há inflexão em
.
Resposta
A função não é convexa em
; ela é côncava para
e convexa para
.
Há ponto de inflexão em .
Há ponto de inflexão em