Determine as transformadas inversas de Laplace das seguintes funções usando frações parciais:
\frac{s^{2}+1}{s(s+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace de
F(s)=\frac{s^{2}+1}{s(s+1)^{2}},
usando frações parciais. Vamos decompor essa função racional em termos de potências simples de s e s+1 para depois aplicar as transformadas inversas conhecidas.

Passo 2

Assumimos a forma de frações parciais
\frac{s^{2}+1}{s(s+1)^{2}} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s+1}+\frac{C}{(s+1)^{2}}.
A ideia é encontrar A, B e C para reescrever F(s) nessas parcelas simples.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por s(s+1)^{2} obtemos
A(s+1)^{2}+B\,s(s+1)+C\,s \;=\;s^{2}+1.
Expandindo o numerador à esquerda:
A(s^{2}+2s+1)+B(s^{2}+s)+C\,s =(A+B)s^{2}+(2A+B+C)s+A.
Comparando coeficientes com s^{2}+0s+1, temos o sistema
A + B = 1,\quad 2A + B + C = 0,\quad A = 1.

Passo 4

Da terceira equação vem A=1. Substituindo em A+B=1 B=0.
Então de 2A+B+C=0 obtemos 2\cdot1+0+C=0, logo C=-2.
Portanto
F(s)=\frac{1}{s}-\frac{2}{(s+1)^{2}}.

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa de Laplace termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{s}\Bigr\}=1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\Bigl\{\tfrac{1}{(s+1)^{2}}\Bigr\}=t\,e^{-t}.
Como há um fator -2, a segunda parte vira -2\,t\,e^{-t}.

Resposta

f(t)=1 \;-\;2\,t\,e^{-t}.

Exercícios relacionados