Analise geometricamente a interseção dos três planos definidos pelas equações do sistema a seguir. Verifique se os planos se interceptam em um único ponto, em uma reta comum ou se não possuem interseção comum:
O que se pede: analisar geometricamente a interseção dos três planos definidos por essas equações e verificar se eles se interceptam em um único ponto, numa reta comum ou se não têm interseção comum.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
As equações representam três planos em \mathbb{R}^3.
As três equações estão todas explícitas e numéricas (não há parâmetros).
É preciso encontrar a interseção comum entre os três planos.]
Passo 2
Resolver primeiro a equação mais simples para obter uma variável imediatamente. A terceira equação é
3x=6.
Dividindo ambos os lados por 3 obtém-se
x=2.
Explicação didática: quando uma equação só envolve uma variável, isolá-la é a maneira mais direta. Aqui isso fixa x para toda solução comum dos três planos.
Passo 3
Agora substituímos \,x=2, nas duas primeiras equações para reduzir o sistema às incógnitas y e z.
Substituindo em \,x-y+z=2:
2 - y + z = 2.
Subtraindo 2 de ambos os lados:
- y + z = 0.
Isto pode ser reescrito como
z = y.
Substituindo em \,2x+y-z=4:
2\cdot 2 + y - z = 4.
Ou seja,
4 + y - z = 4.
Subtraindo 4 de ambos os lados:
y - z = 0,
que também é
y = z.
Passo 4
Interpretando os dois resultados obtidos:
z=y \quad\text{e}\quad y=z
são a mesma relação, isto é, ambas as equações reduzem-se à única condição z=y. Como apenas a condição z=y aparece após fixar x=2, resta uma variável livre (por exemplo y pode assumir qualquer valor real) e a outra é determinada por ela.
Explicação didática: num sistema linear, se após eliminarmos equações sobrarem menos equações independentes que incógnitas, aparecem graus de liberdade. Aqui tínhamos três incógnitas, fixamos x pela terceira equação e das duas restantes obtemos apenas uma condição independente (z=y), portanto sobra um parâmetro livre — soluções infinitas formando uma reta.
Passo 5
Parametrizando a família de soluções com um parâmetro t\in\mathbb{R}, escolhemos y=t. Então z=t e já sabemos x=2. Assim a solução geral é
Aqui (2,0,0) é um ponto da reta e (0,1,1) é um vetor diretor da reta.
Explicação didática: uma reta em \mathbb{R}^3 pode ser dada por um ponto mais um parâmetro vezes um vetor diretor. Como x é constante igual a 2 em todas as soluções, a reta é paralela ao plano x=\text{const} e varia apenas em y e z obedecendo y=z.
Passo 6
Verificação alternativa (interpretação geométrica com normais): os vetores normais dos planos são
A direção da interseção de dois planos é orthogonal ao produto vetorial dos seus normais. Calculando o produto vetorial n_1\times n_2:
n_1\times n_2 = (0,3,3) = 3(0,1,1),
que é paralelo a (0,1,1), o mesmo vetor diretor que encontramos. Além disso, n_3=(1,0,0) indica que o terceiro plano é x=2, que contém a reta encontrada. Isso confirma consistentemente que a interseção comum dos três planos é uma reta com direção (0,1,1) passando por um ponto com x=2.
Resposta
A interseção comum é uma reta: (x,y,z)=(2,t,t),\\ t\in\mathbb{R}.