Resolva e classifique o sistema abaixo em função do parâmetro real k :
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=1 \\ x+2 y+3 z=2 \\ x+2 y+k z=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas x,y,z e parâmetro real k:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=1 \\[4pt] x+2y+3z=2 \\[4pt] x+2y+kz=3 \end{array}\right.
O que se pede:
  • Resolver o sistema, isto é, encontrar x,y,z em função de k.
  • Classificar o sistema conforme o valor de k (solução única, infinitas soluções ou nenhum solução).]

Passo 2

Vou explicar rapidamente o critério que vou usar (sem jargões complicados): para um sistema linear em forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}, se a matriz dos coeficientes A tem determinante diferente de zero, então existe exatamente uma solução. Se o determinante é zero, pode haver ou infinitas soluções ou nenhuma solução — aí é preciso comparar a matriz aumentada [A|\mathbf b] com A para ver se é consistente. Vou combinar esses fatos com eliminação por linhas para encontrar explicitamente x,y,z.

Passo 3

Escrevendo a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 2 & k \end{pmatrix}, \qquad \mathbf b=\begin{pmatrix}1\\[4pt]2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Calculo o determinante de A. Faço operações simples que não mudam o determinante: subtraiu-se a primeira linha das segunda e terceira:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2\\[4pt] 0 & 1 & k-1 \end{pmatrix}.
Como essas operações (linha2 ← linha2 − linha1, linha3 ← linha3 − linha1) não alteram o determinante, posso calcular
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2\\[4pt]1 & k-1\end{pmatrix} =1\cdot\big(1\cdot(k-1)-2\cdot1\big)=k-3.
Portanto
\det(A)=k-3.]

Passo 4

Interpretação imediata:
  • Se k\neq3, então \det(A)\neq0 e o sistema tem solução única.
  • Se k=3, então \det(A)=0 e precisamos verificar consistência (pode ser sem solução ou com infinitas soluções).
Agora vou resolver explicitamente para cada caso.

Passo 5

Caso k\neq3 (solução única). Faço eliminação diretamente nas equações originais para obter y e z de forma simples.
Subtraindo a primeira equação das segunda e terceira:
\begin{aligned} &\text{(2)}-(1):\quad (x+2y+3z)-(x+y+z)=y+2z=1,\\[4pt] &\text{(3)}-(1):\quad (x+2y+kz)-(x+y+z)=y+(k-1)z=2. \end{aligned}
Chamo essas duas equações de (A) e (B):
\text{(A)}:\; y+2z=1,\qquad \text{(B)}:\; y+(k-1)z=2.
Subtraindo (A) de (B) para eliminar y:
\big(y+(k-1)z\big)-\big(y+2z\big)=(k-1-2)z=2-1,
ou seja
(k-3)z=1.
Como estamos no caso k\neq3, podemos dividir por k-3 e obter
z=\frac{1}{k-3}.]

Passo 6

Continuando para k\neq3: calcular y e x.
Usando (A): y=1-2z. Substituindo z=\dfrac{1}{k-3},
y=1-2\cdot\frac{1}{k-3}= \frac{(k-3)-2}{k-3}=\frac{k-5}{k-3}.
Usando a primeira equação x+y+z=1 para achar x:
x=1-y-z=1-\frac{k-5}{k-3}-\frac{1}{k-3}.
Coloco tudo sobre o mesmo denominador k-3:
x=\frac{k-3}{k-3}-\frac{k-5}{k-3}-\frac{1}{k-3} =\frac{k-3-(k-5)-1}{k-3}=\frac{1}{k-3}.
Logo, para k\neq3 a solução única é
\big(x,y,z\big)=\left(\frac{1}{k-3},\;\frac{k-5}{k-3},\;\frac{1}{k-3}\right).
Posso fazer uma checagem rápida mental: substituindo essas expressões nas equações originais satisfazem linearmente — por exemplo as duas primeiras equações conduzem exatamente ao sistema reduzido que usei.

Passo 7

Caso k=3. Substituo k=3 no sistema original:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=1 \\[4pt] x+2y+3z=2 \\[4pt] x+2y+3z=3 \end{array}\right.
Observa-se imediatamente que as segunda e terceira equações têm o mesmo lado esquerdo x+2y+3z mas termos independentes diferentes ( 2 e 3). Isso é uma contradição: a mesma expressão não pode valer simultaneamente 2 e 3. Portanto o sistema é inconsistente e não tem solução quando k=3.]

Passo 8

Resumo / classificação final (resumindo com palavras de amigo: se k for qualquer número diferente de 3 tá beleza — única solução explícita —; se k=3 o sistema vira contraditório).

Resposta

Para k\neq3: solução única \displaystyle \big(x,y,z\big)=\left(\frac{1}{k-3},\;\frac{k-5}{k-3},\;\frac{1}{k-3}\right).
Para k=3: sistema incompatível (sem solução).

Exercícios relacionados