Resolver o sistema, isto é, encontrar x,y,z em função de k.
Classificar o sistema conforme o valor de k (solução única, infinitas soluções ou nenhum solução).]
Passo 2
Vou explicar rapidamente o critério que vou usar (sem jargões complicados): para um sistema linear em forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}, se a matriz dos coeficientes A tem determinante diferente de zero, então existe exatamente uma solução. Se o determinante é zero, pode haver ou infinitas soluções ou nenhuma solução — aí é preciso comparar a matriz aumentada [A|\mathbf b] com A para ver se é consistente. Vou combinar esses fatos com eliminação por linhas para encontrar explicitamente x,y,z.
Posso fazer uma checagem rápida mental: substituindo essas expressões nas equações originais satisfazem linearmente — por exemplo as duas primeiras equações conduzem exatamente ao sistema reduzido que usei.
Observa-se imediatamente que as segunda e terceira equações têm o mesmo lado esquerdo x+2y+3z mas termos independentes diferentes (2 e 3). Isso é uma contradição: a mesma expressão não pode valer simultaneamente 2 e 3. Portanto o sistema é inconsistente e não tem solução quando k=3.]
Passo 8
Resumo / classificação final (resumindo com palavras de amigo: se k for qualquer número diferente de 3 tá beleza — única solução explícita —; se k=3 o sistema vira contraditório).
Resposta
Para k\neq3: solução única \displaystyle \big(x,y,z\big)=\left(\frac{1}{k-3},\;\frac{k-5}{k-3},\;\frac{1}{k-3}\right).
Para k=3: sistema incompatível (sem solução).