Considere o sistema linear abaixo e descreva a interpretação geométrica de sua solução (ponto, reta ou plano) no espaço \mathbb{R}^{3}, justificando sua resposta através do escalonamento:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=1 \quad x \\ 2 x+2 y+2 z=2 \\ 3 x+3 y+3 z=3 \end{array} .\right.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear
\begin{cases} x+y+z=1\\[4pt] 2x+2y+2z=2\\[4pt] 3x+3y+3z=3 \end{cases}
e pede que se descreva a interpretação geométrica da solução no espaço \mathbb{R}^{3} — se a solução é um ponto, uma reta ou um plano — justificando a resposta por meio do escalonamento (eliminação).]

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada do sistema, com as colunas das incógnitas x,y,z e a coluna à direita dos termos constantes:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 2 & 2\\[4pt] 3 & 3 & 3 & 3 \end{array}\right].]

Passo 3

Aplicamos operações de linha para escalonar. Primeiro, eliminamos a primeira coluna nas linhas 2 e 3 usando a linha 1:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1,\qquad R_3 \leftarrow R_3 - 3R_1.
Fazendo essas operações obtemos
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 4

A matriz já está em forma escalonada. Observamos que só há uma linha não nula: a primeira. Isso significa que, nas equações independentes, existe apenas uma equação efetiva (a primeira), e as outras duas não trazem informação nova — elas são múltiplos da primeira. Explicitamente, a segunda equação é 2 vezes a primeira e a terceira é 3 vezes a primeira.

Passo 5

Interpretação em termos de posto (rank):
  • O posto da matriz dos coeficientes é \operatorname{rank}(A)=1, pois só há uma linha independente entre as três.
  • O posto da matriz aumentada é o mesmo, \operatorname{rank}([A|b])=1 (a linha de termos constantes também é consistente).
    Como \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A|b]), o sistema é consistente (tem solução). Como o posto é 1 e o número de incógnitas é 3, o número de variáveis livres é
\text{variáveis livres}=3-1=2.á

Passo 6

Duas variáveis livres indicam que a solução tem dimensão 2 — geometricamente, isso corresponde a um plano (um subespaço afim de dimensão 2) em \mathbb{R}^{3}.
Para ver a forma explícita da solução, escrevemos a equação independente:
x+y+z=1.
Escolhemos parâmetros para as variáveis livres. Por exemplo, deixe y=s e z=t com s,t\in\mathbb{R}. Então
x=1-s-t.
Em forma vetorial obtemos a parametrização da solução:
\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-1\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},\qquad s,t\in\mathbb{R}.
Isto mostra explicitamente que o conjunto solução é um plano afim: um ponto particular \begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} mais combinações lineares de dois vetores diretores \begin{pmatrix}-1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} e \begin{pmatrix}-1\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.]

Passo 7

Observações intuitivas: cada equação do sistema representa um plano em \mathbb{R}^{3}. Aqui os três planos são coincidentes (todos representam o mesmo plano x+y+z=1), por isso a interseção — que é a solução do sistema — é esse próprio plano, não apenas um ponto nem uma reta.

Resposta

O conjunto solução é um plano afim em \mathbb{R}^{3}, dado por \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid x+y+z=1\}.

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