Questão 3, (Valor 2,0)
Calcule:
\operatorname{det}\left((A B)^{-1}\right)

Passo 1

O enunciado pede que se calcule \operatorname{det}\left((A B)^{-1}\right).
Informações fornecidas pelo enunciado: apenas a expressão \operatorname{det}\left((A B)^{-1}\right). Não foram dadas as matrizes A e B explicitamente, portanto a resposta será uma fórmula em termos de \det A e \det B.
O que é pedido: expressar \operatorname{det}\left((A B)^{-1}\right) de forma explícita, usando propriedades conhecidas de determinantes e inversas.

Passo 2

Propriedade 1 (determinante da inversa). Para qualquer matriz quadrada invertível M vale:
\det(M^{-1}) = (\det M)^{-1}.
Explicando por que: como M M^{-1}=I (onde I é a matriz identidade), aplicando determinante aos dois lados vem
\det(M)\,\det(M^{-1})=\det(I)=1,
logo \det(M^{-1})=1/\det(M). Aqui \det(M) é um número (escalar), e (\det M)^{-1} significa o recíproco desse número.

Passo 3

Propriedade 2 (multiplicatividade do determinante). Para matrizes quadradas compatíveis A e B vale:
\det(AB)=\det(A)\,\det(B).
Interpretando: o determinante transforma produto de matrizes no produto dos determinantes (é um homomorfismo multiplicativo de matrizes para escalares).

Passo 4

Aplicando as duas propriedades ao problema:
primeiro, usando a Propriedade 1 com M=AB,
\det\big((AB)^{-1}\big) = \big(\det(AB)\big)^{-1}.
Agora usando a Propriedade 2 para \det(AB),
\big(\det(AB)\big)^{-1} = \big(\det A\,\det B\big)^{-1}.
Distribuindo o inverso sobre o produto de escalares (recíproco de um produto é o produto dos recíprocos),
\big(\det A\,\det B\big)^{-1} = (\det A)^{-1}(\det B)^{-1}.
Também é equivalente escrever
(\det A)^{-1}(\det B)^{-1}=\det(A^{-1})\det(B^{-1}),
pois, pela Propriedade 1 aplicada a A e B, \det(A^{-1})=(\det A)^{-1} e \det(B^{-1})=(\det B)^{-1}.

Passo 5

Exemplo numérico rápido para fixar (só para ganhar confiança): seja
A=\begin{pmatrix}2&0\\[2pt]0&3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\[2pt]0&4\end{pmatrix}.
Então \det A=2\cdot3=6 e \det B=1\cdot4=4. Assim \det(AB)=6\cdot4=24 e
\det\big((AB)^{-1}\big)=\frac{1}{24}=(\det A)^{-1}(\det B)^{-1}=\frac{1}{6}\cdot\frac{1}{4}.
Funciona direitinho.]

Resposta

\displaystyle \det\big((AB)^{-1}\big) = \big(\det A\,\det B\big)^{-1} = (\det A)^{-1}(\det B)^{-1}

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