Questão 3, (Valor 2,0)
Calcule:
Calcule:
Passo 1
O enunciado pede que se calcule
.
Informações fornecidas pelo enunciado: apenas a expressão . Não foram dadas as matrizes
e
explicitamente, portanto a resposta será uma fórmula em termos de
e
.
O que é pedido: expressar de forma explícita, usando propriedades conhecidas de determinantes e inversas.
Informações fornecidas pelo enunciado: apenas a expressão
O que é pedido: expressar
Passo 2
Propriedade 1 (determinante da inversa). Para qualquer matriz quadrada invertível
vale:
Explicando por que: como
(onde
é a matriz identidade), aplicando determinante aos dois lados vem
logo
. Aqui
é um número (escalar), e
significa o recíproco desse número.
Passo 3
Propriedade 2 (multiplicatividade do determinante). Para matrizes quadradas compatíveis
e
vale:
Interpretando: o determinante transforma produto de matrizes no produto dos determinantes (é um homomorfismo multiplicativo de matrizes para escalares).
Passo 4
Aplicando as duas propriedades ao problema:
primeiro, usando a Propriedade 1 com ,
primeiro, usando a Propriedade 1 com
Agora usando a Propriedade 2 para
,
Distribuindo o inverso sobre o produto de escalares (recíproco de um produto é o produto dos recíprocos),
Também é equivalente escrever
pois, pela Propriedade 1 aplicada a
e
,
e
.
Passo 5
Exemplo numérico rápido para fixar (só para ganhar confiança): seja
Então
e
. Assim
e
Funciona direitinho.]