Analise se a integral é convergente, se for determine o valor da integral:
Passo 1
O enunciado pede para analisar se a integral
é convergente e, se for, determinar o seu valor. Informações relevantes dadas:
- O integrando é
. - Observe que
para todo , e a raiz cúbica de é bem definida para todo . - Há um ponto potencialmente problemático em
, porque ali o denominador fica zero (a raiz cúbica de zero é zero). O ponto está dentro do intervalo de integração . - Portanto temos uma integral imprópria com singularidade em um ponto interior ao intervalo.
Passo 2
Formalizamos a integral imprópria dividindo-a no ponto de singularidade
. Definimos
desde que ambos os limites existam finitos. Se qualquer um divergir, a integral original diverge.
Passo 3
Simplificamos a expressão do integrando. Como
, a raiz cúbica satisfaz
Logo o integrando pode ser escrito como
Para
temos
; para
temos
. Assim os dois ramos a analisar são
Passo 4
Analisamos o ramo esquerdo. Faço a substituição
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
, e
. Assim
onde passei aos limites
a
porque a troca de sinal do
inverteu os limites. Agora consideramos a integral imprópria
Usamos a primitiva de
. Para
vale
Aqui
, então
e
Avaliaremos o limite:
Como
quando
, o limite é
. Multiplicando pelo coeficiente
que tínhamos fora,
Portanto o ramo esquerdo já diverge para
.
Passo 5
Para completar a análise, olhamos o ramo direito. Fazemos a substituição
. Quando
vai de
a
,
vai de
a
e
. Portanto
Essa integral é idêntica, em comportamento, à do passo anterior e, pelo mesmo cálculo, diverge para
. Ou seja,
Passo 6
Como pelo menos um (na verdade ambos) dos limites que definem a integral imprópria divergem (tornam-se infinitos positivos), a integral original não converge. Conclusão: a integral é divergente e tende a
.
Resposta
A integral diverge (não converge); seu valor é
.