Analise se a integral é convergente, se for determine o valor da integral:
\int_{0}^{2} \frac{3}{\sqrt[3]{(x-1)^{4}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar se a integral
\int_{0}^{2} \frac{3}{\sqrt[3]{(x-1)^{4}}}\,dx
é convergente e, se for, determinar o seu valor. Informações relevantes dadas:
  • O integrando é \dfrac{3}{\sqrt[3]{(x-1)^{4}}}.
  • Observe que (x-1)^{4}\ge 0 para todo x, e a raiz cúbica de (x-1)^{4} é bem definida para todo x.
  • Há um ponto potencialmente problemático em x=1, porque ali o denominador fica zero (a raiz cúbica de zero é zero). O ponto x=1 está dentro do intervalo de integração [0,2].
  • Portanto temos uma integral imprópria com singularidade em um ponto interior ao intervalo.

Passo 2

Formalizamos a integral imprópria dividindo-a no ponto de singularidade x=1. Definimos
\int_{0}^{2} \frac{3}{\sqrt[3]{(x-1)^{4}}}\,dx = \lim_{a\to 1^-}\int_{0}^{a}\frac{3}{\sqrt[3]{(x-1)^{4}}}\,dx + \lim_{b\to 1^+}\int_{b}^{2}\frac{3}{\sqrt[3]{(x-1)^{4}}}\,dx,
desde que ambos os limites existam finitos. Se qualquer um divergir, a integral original diverge.

Passo 3

Simplificamos a expressão do integrando. Como (x-1)^{4}\ge 0, a raiz cúbica satisfaz
\sqrt[3]{(x-1)^{4}} = \bigl((x-1)^{4}\bigr)^{1/3} = |x-1|^{4/3}.
Logo o integrando pode ser escrito como
\frac{3}{\sqrt[3]{(x-1)^{4}}} = \frac{3}{|x-1|^{4/3}}.
Para x\in(0,1) temos |x-1|=1-x; para x\in(1,2) temos |x-1|=x-1. Assim os dois ramos a analisar são
\int_{0}^{1}\frac{3}{(1-x)^{4/3}}\,dx \quad\text{e}\quad \int_{1}^{2}\frac{3}{(x-1)^{4/3}}\,dx.

Passo 4

Analisamos o ramo esquerdo. Faço a substituição t=1-x. Quando x vai de 0 a 1, t vai de 1 a 0, e dx=-dt. Assim
\int_{0}^{1}\frac{3}{(1-x)^{4/3}}\,dx =3\int_{0}^{1} t^{-4/3}\,dt
onde passei aos limites 0 a 1 porque a troca de sinal do dx inverteu os limites. Agora consideramos a integral imprópria
\int_{0}^{1} t^{-4/3}\,dt = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\varepsilon}^{1} t^{-4/3}\,dt.
Usamos a primitiva de t^{-4/3}. Para p\neq 1 vale
\int t^{-p}\,dt = \frac{t^{1-p}}{1-p}+C.
Aqui p=\tfrac{4}{3}, então 1-p=-\tfrac{1}{3} e
\int t^{-4/3}\,dt = \frac{t^{-1/3}}{-1/3} + C = -3\,t^{-1/3}+C.
Avaliaremos o limite:
\lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{\varepsilon}^{1} t^{-4/3}\,dt = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\bigl[-3\,t^{-1/3}\bigr]_{\varepsilon}^{1} = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\bigl(-3\cdot 1^{-1/3} + 3\,\varepsilon^{-1/3}\bigr) = -3 + 3\lim_{\varepsilon\to 0^+}\varepsilon^{-1/3}.
Como \varepsilon^{-1/3}\to +\infty quando \varepsilon\to 0^+, o limite é +\infty. Multiplicando pelo coeficiente 3 que tínhamos fora,
\int_{0}^{1}\frac{3}{(1-x)^{4/3}}\,dx = 3\cdot\infty = +\infty.
Portanto o ramo esquerdo já diverge para +\infty.

Passo 5

Para completar a análise, olhamos o ramo direito. Fazemos a substituição u=x-1. Quando x vai de 1 a 2, u vai de 0 a 1 e dx=du. Portanto
\int_{1}^{2}\frac{3}{(x-1)^{4/3}}\,dx = 3\int_{0}^{1} u^{-4/3}\,du.
Essa integral é idêntica, em comportamento, à do passo anterior e, pelo mesmo cálculo, diverge para +\infty. Ou seja,
\int_{1}^{2}\frac{3}{(x-1)^{4/3}}\,dx = +\infty.

Passo 6

Como pelo menos um (na verdade ambos) dos limites que definem a integral imprópria divergem (tornam-se infinitos positivos), a integral original não converge. Conclusão: a integral é divergente e tende a +\infty.

Resposta

A integral diverge (não converge); seu valor é +\infty.

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