(1,0 p)- (Surpresa) - Mostre que vale a igualdade \int_{0}^{1} x^{x} d x=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{1}{n^{n}}
Passo 1
O enunciado dá a integral
\int_{0}^{1} x^{x}\,dx
e pede para mostrar que ela é igual à série infinita
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{n^{n}}.
Informações relevantes que temos no enunciado e que vamos usar (sem resolver ainda): o integrando é x^{x} em 0<x\le 1 (com comportamento especial em x=0), e a identidade a ser provada envolve uma soma infinita com sinais alternados e termos n^{-n}. A tarefa é transformar a integral numa série e justificar cada passo (troca soma ↔ integral, avaliação dos termos, mudança de índice).
Passo 2
Expressar x^{x} de uma forma que nos permita expandir em série. Usamos a definição exponencial:
x^{x} = e^{x\ln x}.
Aqui \ln x é o logaritmo natural e x\ln x é o expoente. A série de Taylor (série de potência) da exponencial é válida para todo argumento real, então podemos escrever, para cada x\in(0,1],
e trocar integral com soma. Para isso é suficiente mostrar que a série de funções é dominada por uma função integrável (aplicar o Teorema de Fubini/Tonelli ou o Teorema da Convergência Dominada).
Se conseguirmos mostrar que e^{|x\ln x|} é limitado por uma constante em [0,1], então há uma função integrável que domina a série ponto a ponto. Para isso usamos que a função
atinge seu máximo em x=1/e. Para ver isso, derivamos \varphi (no intervalo (0,1]):
\varphi'(x) = -\ln x -1,
e \varphi'(x)=0 dá \ln x = -1, ou seja x=1/e. O valor máximo é
\varphi(1/e) = \frac{1}{e}.
Logo para todo x\in(0,1] vale |x\ln x|\le 1/e, e portanto
e^{|x\ln x|}\le e^{1/e}.
A função constante e^{1/e} é integrável em [0,1]. Assim a série de termos absolutos converge uniformemente e é dominada, o que legitimiza trocar soma e integral. Portanto podemos escrever