( \mathbf{2 , 0} p)- Sobre séries de funções:
Enuncie e demonstre o teste M de Weierstrass
Passo 1
O enunciado pede para “Enunciar e demonstrar o teste M de Weierstrass”. As informações relevantes que temos (ou que normalmente são assumidas para esse enunciado) são:
Há uma sequência de funções \{f_n\}_{n=1}^{\infty} definidas em um mesmo conjunto E (por exemplo E\subseteq\mathbb{R} ou E\subseteq\mathbb{C}).
Procuramos condições que garantam que a série de funções \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) converge uniformemente em E (e, se possível, que converge absolutamente ponto a ponto).
A forma do teste que precisamos enunciar envolve constantes não negativas \{M_n\}_{n=1}^{\infty} que controlam os módulos |f_n(x)| e a soma \sum_{n=1}^{\infty} M_n.
Nada mais é dado explicitamente no enunciado; devemos formular a hipótese clássica do teste M e então provar rigorosamente a conclusão a partir dela.
Passo 2
Antes de enunciar e provar, vamos lembrar o que significa “convergência uniforme” para uma série de funções e um critério prático (Cauchy uniforme) que usaremos:
Definição (convergência uniforme de série). A série \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) converge uniformemente em E se as somas parciais
S_N(x)=\sum_{n=1}^{N} f_n(x)
convergem uniformemente, ou seja: existe uma função limite S:E\to\mathbb{R} (ou \mathbb{C}) tal que, para todo \varepsilon>0, existe N\in\mathbb{N} com
\text{para todo }x\in E\text{ e todo }n\ge N,\quad |S_n(x)-S(x)|<\varepsilon.
Critério de Cauchy uniforme (para séries). A série \sum f_n converge uniformemente em E se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existe N tal que para todo m>n\ge N e todo x\in E valha
\left|\sum_{k=n+1}^{m} f_k(x)\right|<\varepsilon.
Explicação rápida: isto significa que as somas parciais formam uma sequência de funções que é Cauchy uniformemente em E. Como sequência uniforme Cauchy é equivalente a convergência uniforme em espaços completos (aqui entendemos as funções com a norma do sup), esse critério é prático para provar convergência uniforme sem já conhecer o limite.
Passo 3
Enuncie do teste M de Weierstrass (forma clássica):
Sejam \{f_n\}_{n=1}^{\infty} funções definidas em E. Suponha que existam números reais \{M_n\}_{n=1}^{\infty} com M_n\ge 0 tais que, para todo x\in E e todo n\in\mathbb{N},
|f_n(x)|\le M_n,
e que a série numérica
\sum_{n=1}^{\infty} M_n
converge. Então a série de funções \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) converge absolutamente para cada x\in E e converge uniformemente em E.
Observação: "converge absolutamente para cada x" significa que, para cada x, a série \sum_{n=1}^{\infty} |f_n(x)| converge (porque está majorada pela soma de M_n). O teste vale tanto para funções reais quanto complexas.
Passo 4
Prova do teste M usando o critério de Cauchy uniforme (passo a passo, com explicações):
Tome \varepsilon>0. Como \sum_{n=1}^{\infty} M_n converge, a sequência das somas parciais \sum_{n=1}^{N} M_n é Cauchy; portanto existe N\in\mathbb{N} tal que para quaisquer inteiros m>n\ge N valha
\sum_{k=n+1}^{m} M_k < \varepsilon.
Isto é só a definição de que a série numérica tem cauda pequena: podemos tornar a soma dos termos depois de n tão pequena quanto quisermos.
Agora, para esses mesmos m,n e para qualquer x\in E, estime a cauda da série de funções:
\left|\sum_{k=n+1}^{m} f_k(x)\right|
Usamos a desigualdade triangular (soma de módulos é maior ou igual ao módulo da soma) e a hipótese |f_k(x)|\le M_k. Assim
Pela escolha de N temos \sum_{k=n+1}^{m} M_k<\varepsilon. Portanto, para todo x\in E e todo m>n\ge N,
\left|\sum_{k=n+1}^{m} f_k(x)\right|<\varepsilon.
Isto mostra exatamente o critério de Cauchy uniforme para a série \sum f_n. Logo as somas parciais formam uma sequência Cauchy uniformemente em E, e consequentemente a série \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) converge uniformemente em E.
Para a convergência absoluta ponto a ponto: fixe x\in E. Para cada n temos |f_n(x)|\le M_n. Como \sum M_n converge, pela comparação direta segue que
\sum_{n=1}^{\infty} |f_n(x)|
converge (pois é majorada por \sum M_n). Isso prova a convergência absoluta para cada x\in E.
Assim demonstramos que as hipóteses implicam a conclusão desejada.
Passo 5
Comentário didático e exemplos intuitivos (como aplicar o teste M na prova):
Intuição: o teste M é apenas um teste de comparação, mas feito para séries de funções: se cada termo f_n(x) é, em módulo, menor que um número M_n que não depende de x, e se os M_n formam uma série convergente, então as variações possíveis em x estão controladas uniformemente — por isso vem a convergência uniforme.
Exemplo concreto: considere f_n(x)=\dfrac{x^n}{n^2} em E=[0,1]. Temos |f_n(x)|\le \dfrac{1}{n^2} para todo x\in[0,1]. Como \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} converge (série p com p=2), o teste M garante que \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^n}{n^2} converge uniformemente e absolutamente em [0,1].
Contraexemplo intuitivo (mostra necessidade do controle independente de x): para f_n(x)=x^n em E=[0,1) podemos tentar M_n=1. Mas \sum M_n diverge, e de fato \sum x^n não converge uniformemente em [0,1) (a soma é 1/(1-x) que explode quando x\to 1^-). Portanto é crucial que a majorante M_n não dependa de x e que \sum M_n seja convergente.
Consequências úteis: se uma série de funções converge uniformemente, podemos trocar soma e limite pontual contínuo sob hipóteses, integrar termo a termo (em certos contextos) e preservar continuidade quando os f_n são contínuas. O teste M é uma ferramenta prática para garantir essas propriedades porque dá uniformidade automaticamente.
Passo 6
Observações finais e extensão rápida:
O teste funciona tanto para funções reais quanto complexas (basta interpretar |\cdot| como módulo no caso complexo).
A prova não usa propriedades específicas de E além do fato de que as desigualdades valem para todo x\in E. Logo o teste vale para qualquer domínio.
A peça chave da prova é trocar a desigualdade triangular com a majorante M_n e aplicar o critério de Cauchy uniforme. É simples, mas extremamente útil em provas de propriedades de séries de funções.
Resposta
Sejam \{f_n\}_{n=1}^{\infty} funções em E. Se existem M_n\ge 0 tais que |f_n(x)|\le M_n para todo x\in E e \sum_{n=1}^{\infty} M_n converge, então a série \sum_{n=1}^{\infty} f_n(x) converge absolutamente para todo x\in E e converge uniformemente em E.