Passe para coordenadas polares as expressões:
x^{2}+y^{2}+2 x-y=3

Passo 1

O enunciado pede: "Passe para coordenadas polares a expressão x^{2}+y^{2}+2x-y=3".
Informação dada: a equação cartesiana da curva é x^{2}+y^{2}+2x-y=3.
Objetivo: reescrever essa equação usando coordenadas polares (ou seja, obter uma relação entre r e \theta).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar e entender o que são coordenadas polares e como trocar as variáveis. Em coordenadas polares representamos um ponto por (r,\theta) onde:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui r é a distância do ponto à origem (normalmente r\ge 0) e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x. Essas fórmulas são básicas e vêm da definição trigonométrica no triângulo retângulo formado. Sempre que você for passar uma equação do plano cartesiano (x,y) para o polar, substitui x e y por essas expressões.

Passo 3

Agora fazemos a substituição direta na equação x^{2}+y^{2}+2x-y=3. Observe que x^{2}+y^{2} em coordenadas polares vira r^{2} porque:
x^{2}+y^{2}=(r\cos\theta)^{2}+(r\sin\theta)^{2}=r^{2}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta)=r^{2}.
Substituindo todas as ocorrências de x e y obtemos:
r^{2}+2(r\cos\theta)-r\sin\theta=3.

Passo 4

Organizando a equação em r (colocando tudo de um lado) temos uma equação quadrática em r:
r^{2}+r(2\cos\theta-\sin\theta)-3=0.
Aqui tratamos \theta como parâmetro: para cada ângulo \theta essa é uma equação quadrática que determina os possíveis valores de r.

Passo 5

Para resolver essa quadrática em r usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Se temos uma equação ar^{2}+br+c=0, as soluções são
r=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
No nosso caso a=1, b=2\cos\theta-\sin\theta e c=-3. Então o discriminante é
\Delta = b^{2}-4ac=(2\cos\theta-\sin\theta)^{2}-4\cdot1\cdot(-3)=(2\cos\theta-\sin\theta)^{2}+12.
Aplicando a fórmula:
r(\theta)=\frac{-(2\cos\theta-\sin\theta)\pm\sqrt{(2\cos\theta-\sin\theta)^{2}+12}}{2}.

Passo 6

Interpretação e escolha da raiz: em coordenadas polares convencionais queremos r\ge 0. Das duas raízes, a que usa o sinal + (mais) normalmente fornece o valor positivo de r para a maioria dos \theta; a outra raiz com o sinal - pode ser negativa (e corresponderia aos mesmos pontos interpretando um r<0 com \theta ajustado por \pi). Portanto, a forma prática e útil é tomar a raiz com o sinal +:
r(\theta)=\frac{-(2\cos\theta-\sin\theta)+\sqrt{(2\cos\theta-\sin\theta)^{2}+12}}{2}.

Passo 7

Checagem geométrica (ajuda a entender o que a curva é): podemos completar quadrados na equação cartesiana para ver que tipo de curva é. Fazendo isso:
x^{2}+2x + y^{2}-y = 3
(x+1)^{2}-1 + (y-\tfrac{1}{2})^{2}-\tfrac{1}{4}=3
(x+1)^{2}+(y-\tfrac{1}{2})^{2}=\tfrac{17}{4}.
Logo é um círculo de centro (-1,\tfrac{1}{2}) e raio \tfrac{\sqrt{17}}{2}. Isso confirma que a equação polar que obtivemos descreve exatamente esse círculo (a expressão r(\theta) dá a distância do ponto na direção \theta até a interseção com o círculo).

Passo 8

Exemplo numérico rápido para fixar: escolha \theta=0 ( \cos 0=1,\\ \sin 0=0). A equação em r vira
r^{2}+2r-3=0,
que tem soluções r=1 e r=-3. O r=1 é o físico (positivo) e corresponde ao ponto (1,0) que satisfaz a equação original. Isso ilustra como usar a fórmula na prática.

Resposta

r^{2}+2r\cos\theta-r\sin\theta=3
r(\theta)=\dfrac{-(2\cos\theta-\sin\theta)+\sqrt{(2\cos\theta-\sin\theta)^{2}+12}}{2}

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