Passe para coordenadas polares as expressões:
Passo 1
O enunciado pede: "Passe para coordenadas polares a expressão
".
Informação dada: a equação cartesiana da curva é .
Objetivo: reescrever essa equação usando coordenadas polares (ou seja, obter uma relação entre e
).
Informação dada: a equação cartesiana da curva é
Objetivo: reescrever essa equação usando coordenadas polares (ou seja, obter uma relação entre
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar e entender o que são coordenadas polares e como trocar as variáveis. Em coordenadas polares representamos um ponto por
onde:
Aqui
é a distância do ponto à origem (normalmente
) e
é o ângulo medido a partir do eixo
. Essas fórmulas são básicas e vêm da definição trigonométrica no triângulo retângulo formado. Sempre que você for passar uma equação do plano cartesiano
para o polar, substitui
e
por essas expressões.
Passo 3
Agora fazemos a substituição direta na equação
. Observe que
em coordenadas polares vira
porque:
Substituindo todas as ocorrências de
e
obtemos:
Passo 4
Organizando a equação em
(colocando tudo de um lado) temos uma equação quadrática em
:
Aqui tratamos
como parâmetro: para cada ângulo
essa é uma equação quadrática que determina os possíveis valores de
.
Passo 5
Para resolver essa quadrática em
usamos a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). Se temos uma equação
, as soluções são
No nosso caso
,
e
. Então o discriminante é
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Interpretação e escolha da raiz: em coordenadas polares convencionais queremos
. Das duas raízes, a que usa o sinal
(mais) normalmente fornece o valor positivo de
para a maioria dos
; a outra raiz com o sinal
pode ser negativa (e corresponderia aos mesmos pontos interpretando um
com
ajustado por
). Portanto, a forma prática e útil é tomar a raiz com o sinal
:
Passo 7
Checagem geométrica (ajuda a entender o que a curva é): podemos completar quadrados na equação cartesiana para ver que tipo de curva é. Fazendo isso:
Logo é um círculo de centro
e raio
. Isso confirma que a equação polar que obtivemos descreve exatamente esse círculo (a expressão
dá a distância do ponto na direção
até a interseção com o círculo).
Passo 8
Exemplo numérico rápido para fixar: escolha
(
). A equação em
vira
que tem soluções
e
. O
é o físico (positivo) e corresponde ao ponto
que satisfaz a equação original. Isso ilustra como usar a fórmula na prática.