Analise os intervalos onde [f) é diferenciável e, num mesmo plano cartesiano, esboce os gráficos de f e f' sobrepostos:
(f(x)= \begin{cases}1-2 x, & \text { se } x<-1 \\\ x^{2}, & \text { se } -1 \leq x \leq 1 \\\ x, & \text { se } x>1\end{cases}]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Determinar os intervalos de x onde f é diferenciável.
  • Em um mesmo plano cartesiano, esboçar (sobrepor) os gráficos de f e de f'.
As informações dadas (a definição por partes de f) são:
f(x)= \begin{cases} 1-2x, & \text{se } x<-1,\\[4pt] x^{2}, & \text{se } -1\le x\le 1,\\[4pt] x, & \text{se } x>1. \end{cases}]

Passo 2

Lembrete didático rápido sobre diferenciabilidade (sem jargões):
  • Uma função é diferenciável num ponto a se o limite do quociente incremental
\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
existe como número finito.
  • Diferenciabilidade implica continuidade: se f é diferenciável em a, então f é contínua em a. Portanto, se uma função tem salto (descontinuidade) num ponto, ela NÃO pode ser diferenciável ali.
  • Para funções definidas por partes, o procedimento prático é:
    1. Verificar diferenciabilidade nos intervalos abertos onde cada fórmula vale (normalmente as fórmulas elementares são diferenciáveis).
    2. Verificar os pontos de junção (aqui x=-1 e x=1): checar continuidade e igualdade das derivadas laterais.

Passo 3

Calcular a derivada das três fórmulas (fórmulas básicas de derivação):
  • Para [1-2x): a derivada é a constante -2, porque a derivada de ax+b é a.
  • Para x^{2}: a derivada é 2x, pois (x^n)'=n x^{n-1}.
  • Para x: a derivada é 1.
Portanto, formalmente, os candidatos a f'(x) nas partes são:
f'(x)=\begin{cases} -2, & x<-1,\\[4pt] 2x, & -1<x<1,\\[4pt] 1, & x>1. \end{cases}
(ainda falta decidir os valores em x=-1\] e \(x=1).]

Passo 4

Diferenciabilidade nos intervalos abertos (sem bordas):
  • Em (-\infty,-1): f(x)=1-2x é linear → diferenciável em todo ponto desse intervalo, com f'(x)=-2.
  • Em (-1,1): f(x)=x^2 é polinômio → diferenciável em todo ponto desse intervalo, com f'(x)=2x.
  • Em (1,\infty): f(x)=x é linear → diferenciável em todo ponto desse intervalo, com f'(x)=1.
Conclusão parcial: f é diferenciável em cada um desses três intervalos abertos. Agora precisamos examinar os pontos de junção x=-1 e x=1.

Passo 5

Verificação em x=-1:
  1. Continuidade em x=-1?
    • Valor dado por definição (a peça central inclui -1): f(-1) = (-1)^2 = 1.
    • Limite à esquerda (usando 1-2x): \displaystyle\lim_{x\to-1^-}f(x)=1-2(-1)=1+2=3.
    • Limite à direita (usando x^2): \displaystyle\lim_{x\to-1^+}f(x)=(-1)^2=1.
    • Como a limite à esquerda é 3 e o valor/limite à direita é 1, há descontinuidade (salto) em x=-1. Portanto f NÃO é contínua em -1.
  2. Conclusão: diferenciabilidade exige continuidade; como f não é contínua em x=-1, f NÃO é diferenciável em x=-1, mesmo que as derivadas laterais das fórmulas coincidam numericamente (veja abaixo).
    • Observação: as derivadas laterais das expressões são ambas -2 (esquerda: -2; direita: 2(-1)=-2), mas isso não basta: sem continuidade não há diferenciabilidade.

Passo 6

Verificação em x=1:
  1. Continuidade em x=1?
    • Valor em 1 (peça central inclui 1): f(1)=1^2=1.
    • Limite à esquerda (usando x^2): \displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)=1.
    • Limite à direita (usando x): \displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)=1.
    • Como os limites laterais coincidem e igualam f(1), a função é contínua em x=1.
  2. Derivadas laterais em x=1:
    • Derivada pela esquerda (da peça x^2) em 1: 2\cdot 1 = 2.
    • Derivada pela direita (da peça x) em 1: 1.
    • Como as derivadas laterais são diferentes ( 2\neq 1), o limite do quociente incremental não existe em x=1.
  3. Conclusão: f é contínua em x=1 mas NÃO é diferenciável em x=1 (há um “canto” — mudança de inclinação).

Passo 7

Resumo rigoroso da diferenciabilidade:
  • f é diferenciável em todos os pontos de (-\infty,-1), (-1,1) e (1,\infty).
  • f não é diferenciável em x=-1 (porque há descontinuidade) nem em x=1 (porque as derivadas laterais são diferentes).
O conjunto onde f é diferenciável é:
(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).

Passo 8

Expressão final e observação sobre f'\): \[f'(x)=\begin{cases} -2, & x<-1,\\[4pt] 2x, & -1<x<1,\\[4pt] 1, & x>1, \end{cases} \qquad\text{e } f'(-1)\\ \text{e}\\ f'(1)\\ \text{não existem.}
Observações para o esboço: embora a expressão de 2x\] atinja o valor \(-2 em x=-1, deve-se colocar um ponto aberto em (-1,-2) porque f' não está definido aí; em x=1 coloque um ponto aberto em (1,2) (limite à esquerda) e outro em (1,1) (limite à direita) — nenhum desses pontos pertence ao gráfico de f'.]

Passo 9

Como esboçar, passo a passo (faça no mesmo plano, cores diferentes para ficar claro):
  1. Eixos e marcações: desenhe eixos x e y; marque -1,0,1 no eixo x e linhas horizontais em y=-2,0,1,2.
  2. Gráfico de f (cor azul, por exemplo):
    • Para x<-1: desenhe a reta y=1-2x. Ela é inclinada para baixo (declividade -2). Coloque um círculo aberto em (-1,3) porque esse valor não é assumido (o ramo esquerdo não inclui -1).
    • Em [-1,1]: desenhe a parábola y=x^2 entre x=-1 e x=1. Coloque pontos sólidos em (-1,1), (0,0) e (1,1) (essas estão incluídas).
    • Para x>1: desenhe a reta y=x (inclinação +1), começando imediatamente à direita de x=1; note que em x=1 o valor coincide com a parábola ( 1), então não há buraco no gráfico em x=1.
  3. Gráfico de f' (cor vermelha, por exemplo), sobreposto:
    • Para x<-1: desenhe a linha horizontal y=-2 (constante). Coloque um ponto aberto em (-1,-2) (derivada não definida lá).
    • Para -1<x<1: desenhe a reta y=2x (reta passando por (0,0), cruzando (-1,-2) e (1,2), mas lembre-se: nos extremos são abertos).
    • Para x>1: desenhe a linha horizontal y=1 (constante), com um ponto aberto em (1,1).
  4. Marcas especiais e interpretação visual:
    • Em x=-1 verá um salto em f (valor da esquerda 3 não aparece, valor da direita 1 aparece) — portanto f tem descontinuidade; por isso f' não tem ponto definido ali mesmo que as duas peças da derivada coincidam numericamente.
    • Em x=1 f é contínua (a parábola e a reta se encontram em 1), mas há mudança de inclinação: a tangente da esquerda tem inclinação 2 e a da direita tem inclinação 1 → canto → não diferenciável em 1. No gráfico de f' isso aparece como um salto entre o ramo 2x (que atinge 2 quando x\to1^-) e o ramo constante 1 (quando x\to1^+).
  5. Dica prática: use cores e pontos abertos/sólidos para deixar claro quais valores pertencem aos gráficos.

Resposta

f é diferenciável em (-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty).
f'(x)=\begin{cases} -2, & x<-1,\\[4pt] 2x, & -1<x<1,\\[4pt] 1, & x>1, \end{cases} \quad\text{com }f'\text{ não definida em }x=-1\text{ e }x=1.ã

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