Analise se os n-ésimos termos abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar se a sequência $ a_n = 2^{-2 \sin n} $ converge ou diverge. Para isso, vamos precisar usar conceitos de funções trigonométricas e propriedades de limites de sequências. Vamos descobrir juntos se essa sequência chega a um valor específico quando $ n $ fica muito grande ou se continua sem se estabilizar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é $ \sin n $. Aqui, $ n $ representa números inteiros positivos, e o seno de $ n $ é calculado em radianos. O $ \sin n $ oscila entre -1 e 1, ou seja, nunca passa desses limites. Então, sabemos que:
Passo 3
Agora, vamos multiplicar ambos os lados dessa desigualdade por -2 (lembrando que multiplicar por um número negativo inverte a desigualdade):
Então, temos:
Passo 4
Com isso, a expressão $ 2^{-2 \sin n} $ se torna $ 2^{x} $, onde $ x $ varia entre -2 e 2. Vamos substituir:
Passo 5
Sabemos que $ 2^{x} $ é uma função que cresce exponencialmente quando $ x $ aumenta e decresce quando $ x $ diminui. Portanto:
Isso significa que os valores de $ a_n $ estão sempre entre $ \frac{1}{4} $ e $ 4 $.
Passo 6
Para a sequência $ a_n $ convergir, ela precisa se aproximar de um único valor conforme $ n $ cresce. Porém, como $ \sin n $ continua oscilando entre -1 e 1 para todos os $ n $, a expressão $ 2^{-2 \sin n} $ também vai continuar variando entre $ \frac{1}{4} $ e $ 4 $ sem se estabilizar em um único número.
Resposta
A sequência $ a_n = 2^{-2 \sin n} $ diverge, pois não converge para nenhum valor específico conforme $ n $ aumenta.