Analise se os n-ésimos termos abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a gente precisa fazer aqui. A questão nos apresenta uma sequência matemática:
E a gente precisa descobrir se essa sequência converge (isto é, se ela chega a um valor específico quando $ n $ fica muito grande) ou diverge (se ela não se estabiliza e continua aumentando ou diminuindo sem limite). Se a sequência convergir, a gente também precisa encontrar qual é esse valor.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, que nos ajudam a entender o comportamento da sequência quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a expressão da sequência:
Aqui, temos duas partes principais:
- $ (-1)^{n} $: Isso faz com que a sequência alterne sinais. Quando $ n $ é par, o valor é positivo, e quando $ n $ é ímpar, é negativo.
- $ \frac{n{3}}{3{n}} $: Essa parte determina o tamanho dos termos da sequência.
Queremos ver o que acontece com $ a_{n} $ quando $ n $ cresce muito, ou seja, quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento de $ \frac{n{3}}{3{n}} $ quando $ n $ fica grande.
- Numerador $ n^{3} $: Essa parte cresce, mas de forma polinomial. Ou seja, aumenta proporcionalmente a $ n^{3} $.
- Denominador $ 3^{n} $: Essa parte cresce exponencialmente, muito mais rápido que o numerador.
Quando comparamos crescimento polinomial com crescimento exponencial, o denominador domina, fazendo com que toda a fração $ \frac{n{3}}{3{n}} $ se aproxime de zero conforme $ n $ aumenta.
Passo 4
Agora, considere o fator $ (-1)^{n} $. Mesmo que a sequência esteja alternando sinais, o fato de que $ \frac{n{3}}{3{n}} $ está tendendo a zero significa que os termos da sequência $ a_{n} $ também estão tendendo a zero, independente do sinal.
Portanto, o limite da sequência $ a_{n} $ quando $ n $ tende ao infinito é zero.
Resposta
A sequência $ a_{n} = (-1)^{n} n^{3} 3^{-n} $ converge e o seu valor limite é: