Analise se os n-ésimos termos abaixo convergem ou divergem. Em caso de convergência, exiba seu valor.
an=e^nn^4

Passo 1

Beleza, a gente vai analisar se a sequência $ a_{n} = \frac{e{n}}{n{4}} $ converge ou diverge. Isso está relacionado ao estudo de limites de sequências na matemática. Vamos precisar entender como $ e^{n} $ e $ n^{4} $ se comportam conforme $ n $ cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para saber se a sequência converge ou diverge, a gente precisa calcular o limite de $ a_{n} $ quando $ n $ tende ao infinito. Ou seja, queremos encontrar:
an

Passo 3

Agora, vamos analisar o crescimento das funções no numerador e no denominador. Sabemos que $ e^{n} $ cresce de forma exponencial, enquanto $ n^{4} $ cresce de forma polinomial. Geralmente, funções exponenciais crescem muito mais rápido que polinomiais quando $ n $ fica grande.

Passo 4

Para ter certeza, podemos usar a regra de L’Hôpital, que ajuda a resolver limites do tipo $ \frac{\infty}{\infty} $. Aplicamos a regra várias vezes até simplificar o limite.
Primeiro derivamos numerador e denominador:
inftyinfty
Ainda é $ \frac{\infty}{\infty} $, então aplicamos de novo:
limn to infty e^n4n^3
E de novo:
inftyinfty
Mais uma vez:
limn to infty e^n12n^2

Passo 5

Nesse último passo, vemos que:
limn to infty e^n24 = infty
Isso quer dizer que o limite é infinito, ou seja, a sequência não converge para nenhum número real.

Resposta

A sequência $ a_{n} = \frac{e{n}}{n{4}} $ diverge para $ +\infty $.

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