Seja f uma função contínua no intervalo fechado [-3,6]. Se f(-3)=-1 e f(6)=3, então qual das seguintes opções deve ser verdadeira?
-1 <= f(x) <= 3 para x entre -3 e 6

Passo 1

A questão diz que temos uma função contínua em [-3,6] com f(-3)=-1 e f(6)=3. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário, que nos garante a passagem por todos os valores entre -1 e 3 no intervalo.

Passo 2

Para decidir se " -1 <= f(x) <= 3 para todo xin[-3,6]" é obrigatório, vamos lembrar que continuidade não impede que a função ultrapasse esses valores no meio do caminho. Por exemplo, poderíamos ter um pico acima de 3 ou um vale abaixo de -1 antes de retornar a 3 em x=6. Isso mostra que não há garantia de que f(x) permaneça sempre entre -1 e 3.

Passo 3

O que o Teorema do Valor Intermediário assegura é que, para qualquer valor k entre -1 e 3, existe pelo menos um cin[-3,6] tal que f(c)=k. Em outras palavras, o conjunto imagem de f contém todo o intervalo [-1,3], mas pode também ultrapassá-lo.

Passo 4

Portanto, a afirmação " -1 <= f(x) <= 3 para todo xin[-3,6]" não é obrigatoriamente verdadeira. A única afirmação que decorre diretamente do enunciado contínuo e dos valores nos extremos é o teorema do valor intermediário.

Resposta

Para todo k em [-1,3] existe cin[-3,6] tal que f(c)=k, mas não é garantido que -1<= f(x)<=3 para todo xin[-3,6].

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