Seja
uma função contínua no intervalo fechado
. Se
e
, então qual das seguintes opções deve ser verdadeira?
para
entre -3 e 6
Passo 1
A questão diz que temos uma função contínua em
com
e
. O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário, que nos garante a passagem por todos os valores entre
e
no intervalo.
Passo 2
Para decidir se "
para todo
" é obrigatório, vamos lembrar que continuidade não impede que a função ultrapasse esses valores no meio do caminho. Por exemplo, poderíamos ter um pico acima de
ou um vale abaixo de
antes de retornar a
em
. Isso mostra que não há garantia de que
permaneça sempre entre
e
.
Passo 3
O que o Teorema do Valor Intermediário assegura é que, para qualquer valor
entre
e
, existe pelo menos um
tal que
. Em outras palavras, o conjunto imagem de
contém todo o intervalo
, mas pode também ultrapassá-lo.
Passo 4
Portanto, a afirmação "
para todo
" não é obrigatoriamente verdadeira. A única afirmação que decorre diretamente do enunciado contínuo e dos valores nos extremos é o teorema do valor intermediário.
Resposta
Para todo
em
existe
tal que
, mas não é garantido que
para todo
.