Analise a natureza dos pontos críticos das seguintes funções:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede: analisar a natureza dos pontos críticos da função
- Função dada:
. - Informação implícita importante: o domínio é todo o plano
e a função é suave (infinitamente diferenciável) em todo esse domínio.
Passo 2
Como encontraremos os pontos críticos (passo teórico curto e intuitivo):
- Ponto crítico é ponto onde o gradiente some zero, isto é onde as derivadas parciais primeiras são simultaneamente zero:
. - Para calcular derivadas parciais vamos usar duas regras básicas:
- Regra do produto:
. - Regra da cadeia: se
e , então .
- Regra do produto:
- Aqui é útil notar a forma
com . A exponencial tem derivada que traz um fator ou quando derivamos em relação a ou .
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais primeiras e resolução do sistema
.
- Derivada parcial em relação a
: Aplicando regra do produto: , .
-
Derivada parcial em relação a
: Aquié tratado como constante e só derivamos a exponencial: -
Resolver
, isto é Observação importante:para todo , logo pode ser dividido fora das equações. Assim as equações equivalem a Da primeira vem, ou seja .
Da segunda vemou . Combine as duas condições: -
não satisfaz , logo não é possível. - Logo necessariamente
e .
-
-
Conclusão: os pontos críticos são
Passo 4
Como classificar os pontos críticos (explicação didática do teste das derivadas segundas):
- Formamos a matriz Hessiana
com as segundas derivadas: O teste padrão em usa o determinante : - Se
e então temos mínimo local. - Se
e então temos máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo.
- Se
- Vamos então calcular
explicitamente.]
Passo 5
Cálculo das derivadas segundas (mostrando os passos):
-
Já temos
. Diferenciando em relação a : Usando regra do produto (come ): LogoAgrupando fatores: -
Para
: derivamos em relação a . Como não depende de , Ou sejaObservação:pela suavidade da função. -
Para
: derivamos em relação a . Trate como constante:
Passo 6
Avaliação da Hessiana e classificação no ponto
.
- Primeiro calculemos quantidades necessárias. Neste ponto temos
, , logo e . - Avaliando as segundas derivadas:
Substituindo
:
Assim
- Determinante da Hessiana:
- Conclusão nesse ponto:
e ponto de máximo local.
Passo 7
Avaliação da Hessiana e classificação no ponto
.
- Agora
, , novamente e . - Avaliando:
Com
:
Logo
- Determinante:
- Conclusão nesse ponto:
e ponto de mínimo local.
Passo 8
Observações finais e interpretação intuitiva (ânimo!):
- Encontramos exatamente dois pontos críticos e os classificamos: um máximo local em
e um mínimo local em . - Intuitivamente faz sentido: ao fixar
a função reduz a , que é uma função univariada com um máximo positivo e um mínimo negativo simétricos em . No plano, o fator trase uma forte decaída radial, por isso não surgem outros extremos. - Um incentivo: você já fez o trabalho difícil (derivar e combinar); classificar com o teste da Hessiana é só aplicar as regras que vimos. Parabéns por seguir até aqui!