Mostre que as seguintes funções satisfazem a equação de Laplace :
sen
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado.
- Pede-se para mostrar que a função
satisfaz a equação de Laplace
- A função dada é
(peguei a expressão do enunciado).
Passo 2
O que significa verificar a equação de Laplace e o que vamos fazer.
- A equação de Laplace para uma função
pede que a soma das derivadas parciais segundas em relação a e a seja zero. Em notação, definimos a laplaciana
onde
e
.
- Plano: calcular
, depois ; calcular , depois ; somar e verificar que dá zero. - Lembrete de cálculo: ao derivar parcialmente em relação a
trata-se como constante; ao derivar em relação a trata-se como constante.
Passo 3
Calcular a derivada parcial primeira em relação a
.
- A função é
. Aqui é fator que depende só de (então é constante quando derivamos em ) e depende só de . - Usando que
, obtemos
Passo 4
Calcular a derivada parcial segunda em relação a
.
- Derivando
em relação a , permanece constante e . - Logo
Passo 5
Calcular a derivada parcial primeira em relação a
.
- Agora tratamos
como constante. A função é produto de (que depende de ) por (constante no derivar em ). - Usando que
, obtemos
Passo 6
Calcular a derivada parcial segunda em relação a
.
- Derivando
em relação a , é constante e a derivada de é . - Portanto
Passo 7
Somar as segundas derivadas e verificar a equação de Laplace.
- Agora somamos
e :
- Como a soma é zero em todos os pontos
, a função satisfaz a equação de Laplace.
Passo 8
Comentário final rápido e encorajador.
- Conclusão:
é uma função harmônica (ou seja, tem laplaciana nula). Bom trabalho! Isso é típico: produtos de exponenciais em com senos/cossenos em costumam dar cancelamentos assim — ótima família de exemplos para a prova.
Resposta
Sim.
.