Mostre que as seguintes funções satisfazem a equação de Laplace :
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0
f(x, y)=e^{y} sen x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado.
  • Pede-se para mostrar que a função f satisfaz a equação de Laplace
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0.
  • A função dada é f(x,y)=e^{y}\sin x (peguei a expressão do enunciado).

Passo 2

O que significa verificar a equação de Laplace e o que vamos fazer.
  • A equação de Laplace para uma função f(x,y) pede que a soma das derivadas parciais segundas em relação a x e a y seja zero. Em notação, definimos a laplaciana
\Delta f = f_{xx}+f_{yy},
onde f_{xx}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}} e f_{yy}=\dfrac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}.
  • Plano: calcular f_{x}, depois f_{xx}; calcular f_{y}, depois f_{yy}; somar f_{xx}+f_{yy} e verificar que dá zero.
  • Lembrete de cálculo: ao derivar parcialmente em relação a x trata-se y como constante; ao derivar em relação a y trata-se x como constante.

Passo 3

Calcular a derivada parcial primeira em relação a x.
  • A função é f(x,y)=e^{y}\sin x. Aqui e^{y} é fator que depende só de y (então é constante quando derivamos em x) e \sin x depende só de x.
  • Usando que \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x, obtemos
f_{x}=\frac{\partial f}{\partial x}=e^{y}\cos x.

Passo 4

Calcular a derivada parcial segunda em relação a x.
  • Derivando f_{x}=e^{y}\cos x em relação a x, e^{y} permanece constante e \dfrac{d}{dx}\cos x=-\sin x.
  • Logo
f_{xx}=\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-e^{y}\sin x.

Passo 5

Calcular a derivada parcial primeira em relação a y.
  • Agora tratamos x como constante. A função f(x,y)=e^{y}\sin x é produto de e^{y} (que depende de y) por \sin x (constante no derivar em y).
  • Usando que \dfrac{d}{dy}e^{y}=e^{y}, obtemos
f_{y}=\frac{\partial f}{\partial y}=e^{y}\sin x.

Passo 6

Calcular a derivada parcial segunda em relação a y.
  • Derivando f_{y}=e^{y}\sin x em relação a y, \sin x é constante e a derivada de e^{y} é e^{y}.
  • Portanto
f_{yy}=\frac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=e^{y}\sin x.

Passo 7

Somar as segundas derivadas e verificar a equação de Laplace.
  • Agora somamos f_{xx} e f_{yy}:
f_{xx}+f_{yy} = \big(-e^{y}\sin x\big) + \big(e^{y}\sin x\big) = 0.
  • Como a soma é zero em todos os pontos (x,y), a função satisfaz a equação de Laplace.

Passo 8

Comentário final rápido e encorajador.
  • Conclusão: f(x,y)=e^{y}\sin x é uma função harmônica (ou seja, tem laplaciana nula). Bom trabalho! Isso é típico: produtos de exponenciais em y com senos/cossenos em x costumam dar cancelamentos assim — ótima família de exemplos para a prova.

Resposta

Sim. \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}+\dfrac{\partial^{2} f}{\partial y^{2}}=0.

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