1. Seja z(x, y)=2(a x+b y)^{2}-\left(x^{2}+y^{2}\right) com a^{2}+b^{2}=1. Verifique que \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0.

Passo 1

O enunciado fornece a função z(x,y)=2\bigl(a x+b y\bigr)^{2}-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr) e a condição a^{2}+b^{2}=1. O que se pede é verificar que
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0.
Lista clara do que temos:
  • A função: z(x,y)=2\bigl(a x+b y\bigr)^{2}-\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr).
  • A restrição entre constantes: a^{2}+b^{2}=1.
  • O pedido: calcular as derivadas parciais de segunda ordem \dfrac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}} e \dfrac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}} e mostrar que a soma é zero.

Passo 2

Primeiro vamos lembrar (de forma simples) como calcular derivadas parciais aqui. Defina a função linear interior
u(x,y)=a x+b y.
Então z(x,y)=2u(x,y)^{2}-x^{2}-y^{2}. Para derivar com respeito a x usamos a regra da cadeia: a derivada de u^{2} em relação a x é 2u\cdot \dfrac{\partial u}{\partial x}. Como u=ax+by, temos
\frac{\partial u}{\partial x}=a,\qquad \frac{\partial u}{\partial y}=b,
porque a e b são constantes em relação a x,y. Isso é só aplicar que a derivada de ax em relação a x é a e de by em relação a x é 0.

Passo 3

Calcule a primeira derivada parcial de z em relação a x. Usando z=2u^{2}-x^{2}-y^{2} e a regra da cadeia,
\frac{\partial z}{\partial x}=2\cdot 2u\cdot\frac{\partial u}{\partial x}-2x.
Aqui o primeiro termo vem de derivar 2u^{2} e o segundo vem de derivar -x^{2}. Substituindo \dfrac{\partial u}{\partial x}=a e u=ax+by,
\frac{\partial z}{\partial x}=4u\cdot a-2x=4\bigl(ax+by\bigr)a-2x.

Passo 4

Agora calcule a primeira derivada parcial de z em relação a y. Pelo mesmo raciocínio,
\frac{\partial z}{\partial y}=2\cdot 2u\cdot\frac{\partial u}{\partial y}-2y.
Como \dfrac{\partial u}{\partial y}=b e u=ax+by, obtemos
\frac{\partial z}{\partial y}=4u\cdot b-2y=4\bigl(ax+by\bigr)b-2y.

Passo 5

Agora vamos às segundas derivadas. Diferencie \dfrac{\partial z}{\partial x}=4a(ax+by)-2x em relação a x. O termo 4a(ax+by) é 4a\cdot u, e a é constante, então
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=4a\cdot\frac{\partial u}{\partial x}-2.
Como \dfrac{\partial u}{\partial x}=a, isso dá
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}=4a^{2}-2.

Passo 6

De modo análogo, diferencie \dfrac{\partial z}{\partial y}=4b(ax+by)-2y em relação a y. O termo 4b(ax+by)=4b\cdot u e b é constante, então
\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=4b\cdot\frac{\partial u}{\partial y}-2.
Como \dfrac{\partial u}{\partial y}=b, obtemos
\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=4b^{2}-2.

Passo 7

Somamos as duas segundas derivadas:
\frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=(4a^{2}-2)+(4b^{2}-2)=4\bigl(a^{2}+b^{2}\bigr)-4.
Usando a condição dada a^{2}+b^{2}=1, temos
4\bigl(a^{2}+b^{2}\bigr)-4=4\cdot 1-4=0.
Portanto a soma das segundas derivadas é zero, como pedido.

Resposta

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