- Seja
com
. Verifique que
.
Passo 1
O enunciado fornece a função
e a condição
. O que se pede é verificar que
Lista clara do que temos:
- A função:
. - A restrição entre constantes:
. - O pedido: calcular as derivadas parciais de segunda ordem
e e mostrar que a soma é zero.
Passo 2
Primeiro vamos lembrar (de forma simples) como calcular derivadas parciais aqui. Defina a função linear interior
Então
. Para derivar com respeito a
usamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
. Como
, temos
porque
e
são constantes em relação a
. Isso é só aplicar que a derivada de
em relação a
é
e de
em relação a
é
.
Passo 3
Calcule a primeira derivada parcial de
em relação a
. Usando
e a regra da cadeia,
Aqui o primeiro termo vem de derivar
e o segundo vem de derivar
. Substituindo
e
,
Passo 4
Agora calcule a primeira derivada parcial de
em relação a
. Pelo mesmo raciocínio,
Como
e
, obtemos
Passo 5
Agora vamos às segundas derivadas. Diferencie
em relação a
. O termo
é
, e
é constante, então
Como
, isso dá
Passo 6
De modo análogo, diferencie
em relação a
. O termo
e
é constante, então
Como
, obtemos
Passo 7
Somamos as duas segundas derivadas:
Usando a condição dada
, temos
Portanto a soma das segundas derivadas é zero, como pedido.