Determinar os pontos de máximos e/ou mínimos da função dada, sujeita às restrições indicadas:
f(x, y)=4-x^{2}-y^{2} ; \quad x+y=2

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=4-x^{2}-y^{2} sujeita à restrição linear x+y=2.
O que é pedido: determinar os pontos de máximo e/ou mínimo de f quando (x,y) percorre todos os pares que satisfazem x+y=2.
Informações relevantes dadas:
  • A função objetivo é f(x,y)=4-x^{2}-y^{2}.
  • A restrição é a equação da reta x+y=2.
  • Não há outras restrições (por exemplo, domínio fechado) explicitadas.

Passo 2

Escolha do método: como a restrição é linear e simples, o método mais direto e econômico é isolar uma variável a partir da restrição e substituir na função, reduzindo o problema a uma função de uma variável. Isso evita o formalismo extra dos multiplicadores de Lagrange e é rápido na prova. (Observação: multiplicadores de Lagrange também funcionariam, mas aqui a substituição é mais simples.)

Passo 3

Isolando y na restrição:
y=2-x.
Substituindo na função f obtemos uma função de uma variável x:
f(x)=4-x^{2}-(2-x)^{2}.
Agora vamos desenvolver essa expressão passo a passo.

Passo 4

Calcular (2-x)^{2} e simplificar:
(2-x)^{2}=4-4x+x^{2}.
Substituindo:
f(x)=4-x^{2}-\bigl(4-4x+x^{2}\bigr).
Agora expandir e simplificar termo a termo:
f(x)=4-x^{2}-4+4x-x^{2}=-2x^{2}+4x.

Passo 5

É útil completar o quadrado ou usar derivada para encontrar extremos. Primeiro, escrever em forma de quadrado completado:
f(x)=-2x^{2}+4x=-2\bigl(x^{2}-2x\bigr)=-2\bigl((x-1)^{2}-1\bigr)=-2(x-1)^{2}+2.
Dessa forma já se vê que f(x) é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de x^{2} negativo) com vértice em x=1. Alternativamente, usando derivada: calcular f'(x).
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(-2x^{2}+4x\bigr)=-4x+4.
Zerando a derivada para pontos críticos:
-4x+4=0 \quad\Rightarrow\quad x=1.

Passo 6

Obter y pelo vínculo y=2-x:
y=2-1=1.
Avaliar f no ponto (1,1):
f(1,1)=4-1^{2}-1^{2}=4-1-1=2.

Passo 7

Classificação do extremo: calcular a segunda derivada de f(x):
f''(x)=\frac{d}{dx}(-4x+4)=-4.
Como f''(1)=-4<0, o ponto crítico é um máximo local para f(x) em relação à variável x. Como reduzimos a função na reta toda, esse máximo local é, na verdade, o máximo global restrito à reta x+y=2.

Passo 8

Verificação sobre existência de mínimo: pela forma completada temos
f(x)=-2(x-1)^{2}+2.
O termo -(x-1)^{2} pode crescer em módulo sem limite quando |x|\to\infty, portanto f(x)\to -\infty quando x\to\pm\infty. Logo não existe mínimo (a função é não limitada inferiormente ao longo da reta x+y=2).

Resposta

Máximo em (1,1) com valor f(1,1)=2.
Mínimo: não existe (função não é limitada inferiormente sobre x+y=2).

Exercícios relacionados