Determinar os pontos de máximos e/ou mínimos da função dada, sujeita às restrições indicadas:
Passo 1
O enunciado dá a função
sujeita à restrição linear
.
O que é pedido: determinar os pontos de máximo e/ou mínimo de quando
percorre todos os pares que satisfazem
.
Informações relevantes dadas:
O que é pedido: determinar os pontos de máximo e/ou mínimo de
Informações relevantes dadas:
- A função objetivo é
. - A restrição é a equação da reta
. - Não há outras restrições (por exemplo, domínio fechado) explicitadas.
Passo 2
Escolha do método: como a restrição é linear e simples, o método mais direto e econômico é isolar uma variável a partir da restrição e substituir na função, reduzindo o problema a uma função de uma variável. Isso evita o formalismo extra dos multiplicadores de Lagrange e é rápido na prova. (Observação: multiplicadores de Lagrange também funcionariam, mas aqui a substituição é mais simples.)
Passo 3
Isolando
na restrição:
Substituindo na função
obtemos uma função de uma variável
:
Agora vamos desenvolver essa expressão passo a passo.
Passo 4
Calcular
e simplificar:
Substituindo:
Agora expandir e simplificar termo a termo:
Passo 5
É útil completar o quadrado ou usar derivada para encontrar extremos. Primeiro, escrever em forma de quadrado completado:
Dessa forma já se vê que
é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de
negativo) com vértice em
. Alternativamente, usando derivada: calcular
.
Zerando a derivada para pontos críticos:
Passo 6
Obter
pelo vínculo
:
Avaliar
no ponto
:
Passo 7
Classificação do extremo: calcular a segunda derivada de
:
Como
, o ponto crítico é um máximo local para
em relação à variável
. Como reduzimos a função na reta toda, esse máximo local é, na verdade, o máximo global restrito à reta
.
Passo 8
Verificação sobre existência de mínimo: pela forma completada temos
O termo
pode crescer em módulo sem limite quando
, portanto
quando
. Logo não existe mínimo (a função é não limitada inferiormente ao longo da reta
).
Resposta
Máximo em
com valor
.
Mínimo: não existe (função não é limitada inferiormente sobre ).
Mínimo: não existe (função não é limitada inferiormente sobre