Analise a natureza dos pontos críticos de:
- 4 x y^{2}-2 x^{2} y-x
- x y-x{3}-y{2}
- 4 y^{2} e{-\left(x{2}+y^{2}\right)}
- (x-y){4}+(x+y+2){2}
- 1-x{4}-y{4}
- x{3}+(x-y){2}
Passo 1
Você me deu seis funções e quer analisar a natureza (máximo local, mínimo local, ponto de sela ou caso degenerado a analisar) dos pontos críticos de cada uma. As funções são:
O que eu preciso fazer para cada função:
- encontrar todos os pontos críticos (solucionar
); - calcular as derivadas segundas (Hessiana) e aplicar o teste das derivadas segundas quando possível;
- quando o teste for inconclusivo (
), fazer análise adicional (por exemplo: comportamento por linhas, expressão como soma de termos não negativos, etc.) para concluir a natureza do ponto crítico.
Passo 2
Rápida revisão do método (pra gente ficar na mesma página; é a “caixinha de ferramentas” que vou usar em todas as funções):
- Gradiente: as equações para pontos críticos são
Vou resolver esse sistema para encontrar os pontos críticos.
- Hessiana e teste quadrático: definimos as segundas derivadas
O determinante Hessiano (para classificação) é
Regras do teste:
- Se
e então ponto crítico é mínimo local (estrito). - Se
e então é máximo local (estrito). - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo: preciso olhar termos de ordem superior, restrições a linhas, ou propriedades como soma de quadrados para decidir.
Agora vou aplicar isso a cada função passo a passo.
Passo 3
Análise de
.
- Derivadas parciais:
- Resolver
. A segunda equação fatoriza:
Logo
ou
.
- Se
, a primeira equação vira . Obtemos os pontos e . - Se
, substituir na primeira dá , o que não tem solução real. Então os únicos pontos críticos são e .
- Segundas derivadas (Hessiana):
Avaliar nos pontos críticos:
- Em
:
Determinante
. Sendo
é ponto de sela.
- Em
:
Determinante
. Também ponto de sela.
Conclusão: os dois pontos críticos são pontos de sela.
Passo 4
Análise de
.
- Derivadas parciais:
- Resolver
. Da segunda equação . Substituindo na primeira:
Portanto
ou
.
- Se
, então . Ponto . - Se
, então . Ponto .
- Segundas derivadas:
Avaliar:
-
Em
: . Determinante ⇒ ponto de sela. -
Em
: . Determinante . Como e , é máximo local.
Conclusão:
é ponto de sela;
é máximo local.
Passo 5
Análise de
.
- Derivadas parciais (usar regra do produto e que
sempre, com ):
- Resolver
. Como , podemos ignorá-lo ao achar zeros:
- De
obtemos ⇒ ou . - De
obtemos ⇒ ou .
Combinações:
- Se
, então qualquer satisfaz ambas as equações. Logo toda a reta é conjunto de pontos críticos. - Se
, então da primeira equação precisamos de . Ponto . - Se
, então . Ponto .
Portanto pontos críticos: toda a reta
e os pontos
,
.
- Segundas derivadas (usarei fórmulas já simplificadas para avaliar nos pontos):
Avaliação:
-
Em pontos
(reta crítica): . Então o determinante . O teste é inconclusivo, mas note que sempre, e é zero exatamente quando . Portanto cada ponto é um mínimo global (valor mínimo ); são mínimos não estritos (valores iguais ao longo da reta). Em linguagem simples: é um vale plano ao longo do eixo . -
Em
: calculando pelas fórmulas com obtemos
Então
e
⇒ máximo local. Similar para
(mesmos valores de
), portanto também máximo local.
Conclusão: toda a reta
é composta por mínimos (globais, não estritos);
e
são máximos locais.
Passo 6
Análise de
.
- Derivadas parciais (escrevendo
, ):
- Resolver
. Somando as duas equações:
Subtraindo, obtemos
Solução única:
e
⇒ somando as duas equações dá
. Ponto crítico único
.
- Segundas derivadas (genéricas):
Em
temos
, então
Determinante
. Teste inconclusivo.
- Análise adicional: observe que a função é soma de termos não negativos:
Cada parcela é
e ambas se anulam simultaneamente só se
e
, que é exatamente
. Portanto
e atinge o valor
unicamente em
. Logo
é mínimo global (estrito): qualquer ponto diferente tem valor
.
Conclusão:
é mínimo (global, estrito).
Passo 7
Análise de
.
- Derivadas parciais:
Solução
dá
e
⇒ ponto crítico único
.
- Segundas derivadas:
Em
:
⇒ teste inconclusivo.
- Análise adicional: note que
, logo com igualdade somente quando , ou seja . Portanto dá o valor máximo global , e é estrito (qualquer ponto diferente tem menor valor). Assim é máximo global (estrito).
Conclusão:
é máximo (global, estrito).
Passo 8
Análise de
.
- Derivadas parciais:
- Resolver
. Da segunda equação . Substituindo na primeira:
portanto único ponto crítico
.
- Segundas derivadas:
Em
:
. Determinante
⇒ inconclusivo.
- Análise adicional por restrição a uma linha: sobre a reta
temos e
Próximo de
,
toma valores positivos (para
) e negativos (para
). Assim em qualquer vizinhança de
existem pontos com
e pontos com
. Isso caracteriza um ponto de sela (não é mínimo nem máximo).
Conclusão:
é ponto de sela (degenerado).
Resposta
-
— ponto de sela; — ponto de sela. -
— ponto de sela; — máximo local. -
— mínimos (valor , mínimos globais, não estritos); — máximo local; — máximo local. -
— mínimo (global, estrito). -
— máximo (global, estrito). -
— ponto de sela (degenerado).