(Mínimos quadrados) Dados:
(0,2),(1,8),(2,11)
Determine \alpha, \beta que minimizam
E(\alpha, \beta)=\sum_{i=1}^{3}\left(\alpha t_{i}+\beta-v_{i}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá três pontos (0,2),(1,8),(2,11) e pede encontrar os valores de \alpha e \beta que minimizam o erro quadrático
E(\alpha,\beta)=\sum_{i=1}^{3}\left(\alpha t_{i}+\beta-v_{i}\right)^{2}.
Itens importantes fornecidos:
(t_{1},v_{1})=(0,2),\quad (t_{2},v_{2})=(1,8),\quad (t_{3},v_{3})=(2,11).
Pergunta: determinar \alpha e \beta que minimizam E(\alpha,\beta).

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): quando queremos ajustar uma reta \alpha t+\beta por mínimos quadrados aos pontos dados, buscamos os valores de \alpha e \beta que tornam E(\alpha,\beta) mínimo. Uma condição necessária para um mínimo é que as derivadas parciais sejam zero:
\frac{\partial E}{\partial \alpha}=0,\qquad \frac{\partial E}{\partial \beta}=0.
Vou mostrar como obter essas equações (as chamadas equações normais) e explico cada termo.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais (passo a passo): começamos escrevendo E explicitamente e derivando termo a termo.
E(\alpha,\beta)=\sum_{i=1}^{3}\left(\alpha t_{i}+\beta-v_{i}\right)^{2}.
Derivando em relação a \alpha:
\frac{\partial E}{\partial \alpha}=2\sum_{i=1}^{3}\left(\alpha t_{i}+\beta-v_{i}\right)t_{i}.
Derivando em relação a \beta:
\frac{\partial E}{\partial \beta}=2\sum_{i=1}^{3}\left(\alpha t_{i}+\beta-v_{i}\right).
Igualando a zero (as constantes 2 podem ser canceladas), obtemos as equações normais:
\sum_{i=1}^{3}\left(\alpha t_{i}+\beta-v_{i}\right)t_{i}=0,
\sum_{i=1}^{3}\left(\alpha t_{i}+\beta-v_{i}\right)=0.
Explicação do que cada soma representa: são somas sobre os pontos dados; por exemplo \sum t_{i}v_{i} é a soma dos produtos tempo × valor para cada ponto.

Passo 4

Agora calculamos as somas necessárias a partir dos pontos dados. (Estou pegando estes valores diretamente do enunciado.)
n=3,\qquad \sum_{i=1}^{3}t_{i}=0+1+2=3,
\sum_{i=1}^{3}v_{i}=2+8+11=21,
\sum_{i=1}^{3}t_{i}^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}=0+1+4=5,
\sum_{i=1}^{3}t_{i}v_{i}=0\cdot2+1\cdot8+2\cdot11=0+8+22=30.

Passo 5

Substituímos essas somas nas equações normais. As equações normais escritas em função das somas são
\alpha\sum t_{i}^{2}+\beta\sum t_{i}=\sum t_{i}v_{i},
\alpha\sum t_{i}+\beta n=\sum v_{i}.
Substituindo os números:
5\alpha+3\beta=30,
3\alpha+3\beta=21.

Passo 6

Resolvendo o sistema de duas equações lineares. Da segunda equação:
3\alpha+3\beta=21\implies \alpha+\beta=7\implies \beta=7-\alpha.
Substituindo na primeira:
5\alpha+3(7-\alpha)=30.
Desenvolvendo:
5\alpha+21-3\alpha=30\implies 2\alpha=9\implies \alpha=\frac{9}{2}.
Então
\beta=7-\frac{9}{2}= \frac{14-9}{2}=\frac{5}{2}.

Resposta

\alpha=\dfrac{9}{2}
\beta=\dfrac{5}{2}

Exercícios relacionados