(Mínimos quadrados) Dados:
Determine
que minimizam
Passo 1
O enunciado dá três pontos
e pede encontrar os valores de
e
que minimizam o erro quadrático
Itens importantes fornecidos:
Pergunta: determinar
e
que minimizam
.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): quando queremos ajustar uma reta
por mínimos quadrados aos pontos dados, buscamos os valores de
e
que tornam
mínimo. Uma condição necessária para um mínimo é que as derivadas parciais sejam zero:
Vou mostrar como obter essas equações (as chamadas equações normais) e explico cada termo.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais (passo a passo): começamos escrevendo
explicitamente e derivando termo a termo.
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Igualando a zero (as constantes
podem ser canceladas), obtemos as equações normais:
Explicação do que cada soma representa: são somas sobre os pontos dados; por exemplo
é a soma dos produtos tempo × valor para cada ponto.
Passo 4
Agora calculamos as somas necessárias a partir dos pontos dados. (Estou pegando estes valores diretamente do enunciado.)
Passo 5
Substituímos essas somas nas equações normais. As equações normais escritas em função das somas são
Substituindo os números:
Passo 6
Resolvendo o sistema de duas equações lineares. Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Desenvolvendo:
Então