Analise as proposições a seguir:
I - Em um oscilador harmônico simples, a energia mecânica varia com a velocidade do oscilador.
II - A energia mecânica de um oscilador harmônico simples é proporcional ao quadrado da velocidade.
Estão corretas:
O Ambas são falsas.
  • Apenas I é verdadeira.
    (3) Apenas II é verdadeira.
    (0) Ambas são verdadeiras.

Passo 1

O enunciado apresenta duas proposições sobre um oscilador harmônico simples e pede para decidir quais são verdadeiras ou falsas:
I - Em um oscilador harmônico simples, a energia mecânica varia com a velocidade do oscilador.
II - A energia mecânica de um oscilador harmônico simples é proporcional ao quadrado da velocidade.
Informações implícitas que podemos usar: existe um oscilador harmônico simples com massa m, constante elástica k, amplitude A e velocidade instantânea v. Não há outras condições dadas. A tarefa é avaliar a veracidade das duas afirmações.

Passo 2

Escrevendo as expressões das posições e velocidades no movimento harmônico simples e explicando cada símbolo. A solução geral para a posição é
x(t)=A\cos(\omega t+\varphi),
onde A é a amplitude (o máximo deslocamento), \omega é a frequência angular e \varphi é a fase inicial. A velocidade é a derivada de x(t):
v(t)=\frac{dx}{dt}=-A\omega\sin(\omega t+\varphi).
Aqui \omega está relacionada com k e m pela fórmula
\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Explicação: x(t) e v(t) mostram que x e v variam no tempo periodicamente; A é o máximo de |x| e A\omega é o máximo de |v|.

Passo 3

Escrevendo as energias (dou a “aula” curta sobre cada termo). A energia cinética (KE) e a energia potencial elástica (PE) são, respectivamente,
\text{KE}=\frac{1}{2}m v^2, \qquad \text{PE}=\frac{1}{2}k x^2.
A energia mecânica total instantânea é a soma:
E(t)=\frac{1}{2}m v(t)^2 + \frac{1}{2}k x(t)^2.
Explicação: \frac{1}{2}m v^2 é a energia associada ao movimento; \frac{1}{2}k x^2 é a energia armazenada na mola quando deslocada. Em um sistema sem atrito nem forças dissipativas, essa energia total é conservada.

Passo 4

Mostrar que a energia mecânica é constante (provei algebraicamente). Substituo x(t) e v(t) nas expressões:
v(t)^2 = A^2\omega^2\sin^2(\omega t+\varphi), \qquad x(t)^2 = A^2\cos^2(\omega t+\varphi).
Logo
E(t)=\frac{1}{2}m A^2\omega^2\sin^2(\omega t+\varphi)+\frac{1}{2}k A^2\cos^2(\omega t+\varphi).
Usando \omega^2=k/m (ou seja, k=m\omega^2), substituo k:
E(t)=\frac{1}{2}m A^2\omega^2\sin^2(\cdot)+\frac{1}{2}m\omega^2 A^2\cos^2(\cdot) =\frac{1}{2}m\omega^2 A^2\big(\sin^2(\cdot)+\cos^2(\cdot)\big).
Como \sin^2+\cos^2=1, obtemos
E(t)=\frac{1}{2}m\omega^2 A^2=\frac{1}{2}k A^2,
que é uma constante independente do tempo e, portanto, independente da velocidade instantânea v(t). Explicação: apesar de KE e PE trocarem energia entre si (quando uma sobe a outra desce), a soma permanece fixa.

Passo 5

Interpretação da proposição I e conclusão. A proposição I diz: “a energia mecânica varia com a velocidade do oscilador.” Se interpretarmos como “a energia mecânica total do oscilador muda quando a velocidade muda” (isto é, que E varia no tempo porque v(t) varia), isso é falso, pois mostramos que E(t) é constante; muda a parcela cinética \tfrac{1}{2}m v^2, mas a energia potencial compensa exatamente, mantendo E constante. Observação: se alguém interpretasse I no sentido fraco “a energia cinética varia com a velocidade”, aí sim a energia cinética varia com v (pois \text{KE}\propto v^2), mas o enunciado fala explicitamente “energia mecânica” (isto é, a energia total). Portanto, tomamos a leitura correta como referindo-se à energia mecânica total — e assim I é falsa.

Passo 6

Interpretação da proposição II e conclusão. A proposição II afirma: “A energia mecânica de um oscilador harmônico simples é proporcional ao quadrado da velocidade.” A energia cinética é proporcional a v^2, mas a energia mecânica total não é, em geral, proporcional a v^2 porque também depende de x^2. Em pontos diferentes do movimento v^2 muda, mas E permanece constante; portanto não existe uma proporcionalidade geral E\propto v^2. Em particular, em um instante onde v=0 (p.ex. amplitude) temos E=\tfrac{1}{2}kA^2 mas v^2=0, então E não é proporcional a v^2 de forma geral. Conclusão: II é falsa.

Passo 7

Exemplo numérico simples para fixar a intuição. Tomemos m=1, k=1 (logo \omega=1) e A=1.
  • Em t=0: x=1, v=0. Então
E=\tfrac{1}{2}kA^2=\tfrac{1}{2}\cdot1\cdot1^2=\tfrac{1}{2}.
  • Em t=\pi/2: x=0, v=1. Então
E=\tfrac{1}{2}m v^2=\tfrac{1}{2}\cdot1\cdot1^2=\tfrac{1}{2}.
Aqui v mudou (de 0 para 1), mas E permaneceu \tfrac{1}{2}. Isso ilustra que I (energia total variando com v) é falsa e que E não é simplesmente proporcional a v^2 (II também falsa).

Resposta

Ambas são falsas.

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