Analise as proposições a seguir:
I - Em um oscilador harmônico simples, a energia mecânica varia com a velocidade do oscilador.
II - A energia mecânica de um oscilador harmônico simples é proporcional ao quadrado da velocidade.
Estão corretas:
O Ambas são falsas.
- Apenas I é verdadeira.
(3) Apenas II é verdadeira.
(0) Ambas são verdadeiras.
(3) Apenas II é verdadeira.
(0) Ambas são verdadeiras.
Passo 1
O enunciado apresenta duas proposições sobre um oscilador harmônico simples e pede para decidir quais são verdadeiras ou falsas:
I - Em um oscilador harmônico simples, a energia mecânica varia com a velocidade do oscilador.
II - A energia mecânica de um oscilador harmônico simples é proporcional ao quadrado da velocidade.
Informações implícitas que podemos usar: existe um oscilador harmônico simples com massa , constante elástica
, amplitude
e velocidade instantânea
. Não há outras condições dadas. A tarefa é avaliar a veracidade das duas afirmações.
I - Em um oscilador harmônico simples, a energia mecânica varia com a velocidade do oscilador.
II - A energia mecânica de um oscilador harmônico simples é proporcional ao quadrado da velocidade.
Informações implícitas que podemos usar: existe um oscilador harmônico simples com massa
Passo 2
Escrevendo as expressões das posições e velocidades no movimento harmônico simples e explicando cada símbolo. A solução geral para a posição é
onde
é a amplitude (o máximo deslocamento),
é a frequência angular e
é a fase inicial. A velocidade é a derivada de
:
Aqui
está relacionada com
e
pela fórmula
Explicação:
e
mostram que
e
variam no tempo periodicamente;
é o máximo de
e
é o máximo de
.
Passo 3
Escrevendo as energias (dou a “aula” curta sobre cada termo). A energia cinética (KE) e a energia potencial elástica (PE) são, respectivamente,
A energia mecânica total instantânea é a soma:
Explicação:
é a energia associada ao movimento;
é a energia armazenada na mola quando deslocada. Em um sistema sem atrito nem forças dissipativas, essa energia total é conservada.
Passo 4
Mostrar que a energia mecânica é constante (provei algebraicamente). Substituo
e
nas expressões:
Logo
Usando
(ou seja,
), substituo
:
Como
, obtemos
que é uma constante independente do tempo e, portanto, independente da velocidade instantânea
. Explicação: apesar de KE e PE trocarem energia entre si (quando uma sobe a outra desce), a soma permanece fixa.
Passo 5
Interpretação da proposição I e conclusão. A proposição I diz: “a energia mecânica varia com a velocidade do oscilador.” Se interpretarmos como “a energia mecânica total do oscilador muda quando a velocidade muda” (isto é, que
varia no tempo porque
varia), isso é falso, pois mostramos que
é constante; muda a parcela cinética
, mas a energia potencial compensa exatamente, mantendo
constante. Observação: se alguém interpretasse I no sentido fraco “a energia cinética varia com a velocidade”, aí sim a energia cinética varia com
(pois
), mas o enunciado fala explicitamente “energia mecânica” (isto é, a energia total). Portanto, tomamos a leitura correta como referindo-se à energia mecânica total — e assim I é falsa.
Passo 6
Interpretação da proposição II e conclusão. A proposição II afirma: “A energia mecânica de um oscilador harmônico simples é proporcional ao quadrado da velocidade.” A energia cinética é proporcional a
, mas a energia mecânica total não é, em geral, proporcional a
porque também depende de
. Em pontos diferentes do movimento
muda, mas
permanece constante; portanto não existe uma proporcionalidade geral
. Em particular, em um instante onde
(p.ex. amplitude) temos
mas
, então
não é proporcional a
de forma geral. Conclusão: II é falsa.
Passo 7
Exemplo numérico simples para fixar a intuição. Tomemos
,
(logo
) e
.
- Em
: , . Então
- Em
: , . Então
Aqui
mudou (de
para
), mas
permaneceu
. Isso ilustra que I (energia total variando com
) é falsa e que E não é simplesmente proporcional a
(II também falsa).
Resposta
Ambas são falsas.