Analise as proposições a seguir:
I - Quanto maior a amplitude de um movimento harmônico simples, maior será sua velocidade máxima.
II - A velocidade máxima de um movimento harmônico simples é independente da frequência do movimento.
Estão corretas:
O Ambas são verdadeiras.
Q Ambas são falsas.
Q Apenas I é verdadeira.
(3) Apenas II é verdadeira.
O Ambas são verdadeiras.
Q Ambas são falsas.
Q Apenas I é verdadeira.
(3) Apenas II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado apresenta duas proposições e pede que identifiquemos quais são corretas. As proposições são:
I - Quanto maior a amplitude de um movimento harmônico simples, maior será sua velocidade máxima.
II - A velocidade máxima de um movimento harmônico simples é independente da frequência do movimento.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
- Trata-se de um movimento harmônico simples (MHS).
- As proposições falam sobre a dependência da velocidade máxima em relação à amplitude e à frequência.
Passo 2
Vamos escrever a equação básica do deslocamento num MHS e explicar cada símbolo. Para um MHS unidimensional típico temos:
onde:
-
é o deslocamento em função do tempo ; -
é a amplitude (o valor máximo absoluto de ); -
é a velocidade angular (ou pulsação), medida em rad/s; -
é a fase inicial (ângulo em radianos que desloca a função no tempo).
Além disso, a relação entre velocidade angular
e frequência
(medida em Hz) é:
Isso significa que conhecer
é equivalente a conhecer
.
Passo 3
Agora vamos obter a velocidade instantânea
a partir de
. Velocidade é derivada do deslocamento em relação ao tempo:
Derivando
usamos que
(regra da cadeia). Assim:
Expliquei: a derivada de
vira
e o fator
aparece por causa da derivada do argumento
.
Passo 4
Para achar a velocidade máxima em módulo, analisamos a expressão
. O seno varia entre
e
, então o valor máximo absoluto que
atinge é
. Portanto o valor máximo da velocidade em módulo é:
Se preferirmos em termos da frequência
, substituímos
:
Aqui cada símbolo significa:
é a velocidade máxima em módulo,
amplitude,
frequência.
Passo 5
Interpretemos as duas proposições usando a fórmula
.
-
Sobre a amplitude: se
(ou ) for mantida fixa, cresce proporcionalmente a . Ou seja, dobrando com fixo, dobra-se . Logo, para movimentos com mesma frequência/pulsação, quanto maior a amplitude, maior será a velocidade máxima — isso confirma a proposição I no sentido usual em física de “comparar movimentos mantendo as demais condições iguais”. -
Sobre a frequência: como
, é diretamente proporcional a . Logo, variando com fixo, a velocidade máxima muda. Portanto a velocidade máxima NÃO é independente da frequência — ela depende diretamente de . Isso mostra que a proposição II é falsa.
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia: tome
e
. Então
Se dobrarmos
para
com o mesmo
,
dobra. Se, mantendo
, dobrarmos
para
,
também dobra.
Passo 6
Conclusão sobre as proposições:
- I é verdadeira (considerando a comparação usual com frequência fixa).
- II é falsa (porque
depende de ).
Resposta
Apenas I é verdadeira.