Um carro, quando entram 4 pessoas com uma massa média de 52 kg , sofre um rebaixamento de 13 cm . Sabendo que os amortecedores do carro agem análogo a um amortecimento de constante
e que a massa do carro é de 678 kg , determine o período de oscilação do carro quando ele começa a vibrar devido a alguma inregularidade no chão.
(A)
.
(B)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(A)
(B)
(B)
(C)
(D)
Passo 1
O enunciado pede que eu determine o período de oscilação do carro quando ele começa a vibrar depois que entram 4 pessoas. Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
A pergunta é: determinar o período de oscilação (em segundos) do carro quando ele vibra após entrar as pessoas.
Passo 2
Modelo físico e ideia principal (sem ainda calcular): o carro pode ser modelado como um sistema massa-mola-amortecedor vertical. Quando as pessoas entram, a massa do conjunto passa a ser a soma da massa do carro mais a massa das pessoas. O rebaixamento observado permite determinar a constante efetiva da mola do conjunto pela lei de Hooke em equilíbrio estático: força adicional igual à rigidez vezes deslocamento adicional.
Vou usar a gravidade
. A fórmula que liga a variação de força à variação de alongamento é a lei de Hooke linear:
onde
é a constante efetiva da mola (N/m) e
é o deslocamento (m). Na variação provocada pelas pessoas, a força adicional é
, com
a massa adicionada.
Passo 3
Cálculo da constante da mola
usando a compressão causada pelas pessoas:
Substituindo
,
e
:
Passo 4
Determinar a massa total que oscila. As pessoas permanecem no carro enquanto ele vibra, então a massa total é
A pulsação natural (sem amortecimento) do sistema massa-mola é
Calculo numérico:
Passo 5
Agora incluo o amortecimento. A equação linear do oscilador amortecido é
onde
é a constante de amortecimento (aqui
). Defino
Calculo
:
Para o caso subamortecido (oscilações amortecidas), a pulsação amortecida é
Calculo os termos:
Observação didática rápida: como
, o sistema é subamortecido e oscilações persistem, com frequência ligeiramente menor que a natural.
Passo 6
Período da oscilação amortecida e cálculo final. O período amortecido é
Substituindo
:
Comentário amigo: sem amortecimento o período seria
, então o amortecimento aumentou um pouco o período para
. Pronto — isso fecha o raciocínio.
Resposta
(A)