Um carro, quando entram 4 pessoas com uma massa média de 52 kg , sofre um rebaixamento de 13 cm . Sabendo que os amortecedores do carro agem análogo a um amortecimento de constante 2081 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e que a massa do carro é de 678 kg , determine o período de oscilação do carro quando ele começa a vibrar devido a alguma inregularidade no chão.
(A) 1,555 \mathrm{~s}.
(B) 1,711 \mathrm{~s}.
(B) 2,178 \mathrm{~s}.
(C) 1,866 \mathrm{~s}.
(D) 2,022 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado pede que eu determine o período de oscilação do carro quando ele começa a vibrar depois que entram 4 pessoas. Informações dadas (vou listar tudo explicitamente):
\begin{aligned} &\text{massa média de cada pessoa} = 52\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{número de pessoas} = 4,\\\ &\text{portanto massa total das pessoas} = 4\times 52 = 208\\ \mathrm{kg},\\\ &\text{rebaixamento (compressão estática) causado por essas pessoas} = 13\\ \mathrm{cm} = 0,13\\ \mathrm{m},\\\ &\text{constante de amortecimento (viscosa)} = 2081\\ \mathrm{kg/s},\\\ &\text{massa do carro} = 678\\ \mathrm{kg}. \end{aligned}éúãá
A pergunta é: determinar o período de oscilação (em segundos) do carro quando ele vibra após entrar as pessoas.

Passo 2

Modelo físico e ideia principal (sem ainda calcular): o carro pode ser modelado como um sistema massa-mola-amortecedor vertical. Quando as pessoas entram, a massa do conjunto passa a ser a soma da massa do carro mais a massa das pessoas. O rebaixamento observado permite determinar a constante efetiva da mola do conjunto pela lei de Hooke em equilíbrio estático: força adicional igual à rigidez vezes deslocamento adicional.
Vou usar a gravidade g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}. A fórmula que liga a variação de força à variação de alongamento é a lei de Hooke linear:
F = k\,x,
onde k é a constante efetiva da mola (N/m) e x é o deslocamento (m). Na variação provocada pelas pessoas, a força adicional é \Delta F = \Delta m\;g, com \Delta m a massa adicionada.

Passo 3

Cálculo da constante da mola k usando a compressão causada pelas pessoas:
k = \frac{\Delta F}{x} = \frac{\Delta m\,g}{x}.
Substituindo \Delta m=208\\ \mathrm{kg}, g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e x=0{,}13\\ \mathrm{m}:
\Delta m\,g = 208\times 9{,}8 = 2038{,}4\\ \mathrm{N}.
k = \frac{2038{,}4}{0{,}13} = 15680\\ \mathrm{N/m}\quad(\text{aprox.}).

Passo 4

Determinar a massa total que oscila. As pessoas permanecem no carro enquanto ele vibra, então a massa total é
m = m_{\text{carro}} + m_{\text{pessoas}} = 678 + 208 = 886\\ \mathrm{kg}.
A pulsação natural (sem amortecimento) do sistema massa-mola é
\omega_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Calculo numérico:
\frac{k}{m}=\frac{15680}{886}\approx 17{,}698\\ \mathrm{s^{-2}},
\omega_0=\sqrt{17{,}698}\approx 4{,}2078\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 5

Agora incluo o amortecimento. A equação linear do oscilador amortecido é
m\ddot{x}+c\dot{x}+k x=0,
onde c é a constante de amortecimento (aqui c=2081\\ \mathrm{kg/s}). Defino
\alpha=\frac{c}{2m}.
Calculo \alpha:
\alpha=\frac{2081}{2\times 886}=\frac{2081}{1772}\approx 1{,}1749\\ \mathrm{s^{-1}}.
Para o caso subamortecido (oscilações amortecidas), a pulsação amortecida é
\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\alpha^2}.
Calculo os termos:
\omega_0^2\approx 17{,}698,\qquad \alpha^2\approx 1{,}380.
\omega_d=\sqrt{17{,}698-1{,}380}=\sqrt{16{,}318}\approx 4{,}039\\ \mathrm{rad/s}.
Observação didática rápida: como \alpha<\omega_0, o sistema é subamortecido e oscilações persistem, com frequência ligeiramente menor que a natural.

Passo 6

Período da oscilação amortecida e cálculo final. O período amortecido é
T_d=\frac{2\pi}{\omega_d}.
Substituindo \omega_d\approx 4{,}039\\ \mathrm{rad/s}:
T_d=\frac{2\pi}{4{,}039}\approx \frac{6{,}283185}{4{,}039}\approx 1{,}555\\ \mathrm{s}.
Comentário amigo: sem amortecimento o período seria T_0=2\pi/\omega_0\approx 1{,}493\\ \mathrm{s}, então o amortecimento aumentou um pouco o período para 1{,}555\\ \mathrm{s}. Pronto — isso fecha o raciocínio.

Resposta

(A) 1,555\\ \mathrm{s}

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