Analise as proposições a seguir:
I - Um oscilador subamortecido possui uma frequência de oscilação menor do que o mesmo oscilador sem amortecimento.
II - A amplitude de um oscilador subamortecido decai exponencialmente mais rapidamente quanto maior for a massa do oscilador.
Estão corretas:
(4) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Ambas são verdadeiras.
(D) Ambas são falsas.
II - A amplitude de um oscilador subamortecido decai exponencialmente mais rapidamente quanto maior for a massa do oscilador.
(4) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Ambas são verdadeiras.
(D) Ambas são falsas.
Passo 1
O enunciado apresenta duas proposições sobre um oscilador subamortecido e pede que decidamos quais são verdadeiras:
- I - “Um oscilador subamortecido possui uma frequência de oscilação menor do que o mesmo oscilador sem amortecimento.”
- II - “A amplitude de um oscilador subamortecido decai exponencialmente mais rapidamente quanto maior for a massa do oscilador.”
Informações implícitas que usarei (não pedirei nada a mais):
- Trata-se de amortecimento viscoso linear com coeficiente de amortecimento
. - A massa do oscilador é
e a constante elástica é . - Por “mesmo oscilador sem amortecimento” entendo o mesmo
e com .
A tarefa é analisar as duas afirmações e dizer quais são verdadeiras, justificando passo a passo.
Passo 2
Escrevendo a equação do movimento para um oscilador massa-mola com amortecimento viscoso:
Explicando cada termo:
-
é a massa (unidade: kg). -
é o coeficiente de amortecimento viscoso (unidade: N·s/m). -
é a constante da mola (unidade: N/m). -
é o deslocamento no tempo.
A equação é homogênea e linear com coeficientes constantes.
Passo 3
Para resolver, dividimos por
e formamos a equação característica. Dividindo por
obtemos
A equação característica é
As raízes são
Passo 4
Definimos a frequência natural não amortecida e a razão de amortecimento (parâmetros usuais):
e a razão de amortecimento
Essas definições ajudam a escrever as raízes de forma mais clara. Reescrevendo o discriminante em termos de
e
dá:
Passo 5
Caso subamortecido significa
(ou, equivalentemente,
). Nessa situação as raízes da característica são complexas conjugadas:
com a frequência amortecida (frequência angular das oscilações)
A solução geral subamortecida tem a forma
onde
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais. Observe que a amplitude efetiva (envelope) é
.
Passo 6
Analisando a proposição I:
- A frequência de oscilação sem amortecimento é
(caso ). - Para amortecimento subamortecido (
mas pequeno tal que ), a frequência real de oscilação é . - Como
quando , segue que .
Portanto a proposição I é verdadeira: um oscilador subamortecido oscila com frequência menor do que o mesmo oscilador sem amortecimento.
Passo 7
Analisando a proposição II: precisamos ver como a taxa de decaimento da amplitude depende de
.
Da solução do Passo 5 vimos que o envelope temporal é
Da solução do Passo 5 vimos que o envelope temporal é
O expoente da decaída exponencial é
. Isso significa que a taxa de decaimento (constante de decaimento) é
Quanto maior
, mais rápido decai a amplitude.
Passo 8
Interpretação da dependência em
:
- A constante
diminui quando aumenta (assumindo fixo). - Logo, se aumentarmos a massa
mantendo o mesmo coeficiente de amortecimento , a taxa de decaimento fica menor e a amplitude decai mais devagar, não mais rapidamente.
Portanto a proposição II, que afirma que “a amplitude decai exponencialmente mais rapidamente quanto maior for a massa”, é falsa sob a suposição natural de queé mantido fixo.
Passo 9
Resumo e observação final:
- I é verdadeira porque
quando . - II é falsa porque a taxa de decaimento do envelope é
, que diminui quando aumenta (para fixo). Assim, massa maior => decaimento mais lento, não mais rápido.
(Se alguém alterasse simultaneamentecom de forma diferente, a conclusão poderia mudar, mas a interpretação física usual é manter fixo.)
Resposta
(4) Apenas I é verdadeira.