Analise as proposições a seguir:
I - Um oscilador subamortecido possui uma frequência de oscilação menor do que o mesmo oscilador sem amortecimento.
II - A amplitude de um oscilador subamortecido decai exponencialmente mais rapidamente quanto maior for a massa do oscilador.
Estão corretas:
(4) Apenas I é verdadeira.
(B) Apenas II é verdadeira.
© Ambas são verdadeiras.
(D) Ambas são falsas.

Passo 1

O enunciado apresenta duas proposições sobre um oscilador subamortecido e pede que decidamos quais são verdadeiras:
  1. I - “Um oscilador subamortecido possui uma frequência de oscilação menor do que o mesmo oscilador sem amortecimento.”
  2. II - “A amplitude de um oscilador subamortecido decai exponencialmente mais rapidamente quanto maior for a massa do oscilador.”
Informações implícitas que usarei (não pedirei nada a mais):
  • Trata-se de amortecimento viscoso linear com coeficiente de amortecimento \,c.
  • A massa do oscilador é \,m e a constante elástica é \,k.
  • Por “mesmo oscilador sem amortecimento” entendo o mesmo \,m e \,k com \,c=0.
A tarefa é analisar as duas afirmações e dizer quais são verdadeiras, justificando passo a passo.

Passo 2

Escrevendo a equação do movimento para um oscilador massa-mola com amortecimento viscoso:
m\ddot{x} + c\dot{x} + kx = 0.
Explicando cada termo:
  • \,m é a massa (unidade: kg).
  • \,c é o coeficiente de amortecimento viscoso (unidade: N·s/m).
  • \,k é a constante da mola (unidade: N/m).
  • \,x(t) é o deslocamento no tempo.
    A equação é homogênea e linear com coeficientes constantes.

Passo 3

Para resolver, dividimos por \,m e formamos a equação característica. Dividindo por \,m obtemos
\ddot{x} + \frac{c}{m}\dot{x} + \frac{k}{m}x = 0.
A equação característica é
r^{2} + \frac{c}{m}r + \frac{k}{m} = 0.
As raízes são
r = -\frac{c}{2m} \pm \sqrt{\frac{c^{2}}{4m^{2}} - \frac{k}{m}}.

Passo 4

Definimos a frequência natural não amortecida e a razão de amortecimento (parâmetros usuais):
\omega_{n} = \sqrt{\frac{k}{m}}
e a razão de amortecimento
\zeta = \frac{c}{2\sqrt{km}}.
Essas definições ajudam a escrever as raízes de forma mais clara. Reescrevendo o discriminante em termos de \omega_{n} e \zeta dá:
\frac{c^{2}}{4m^{2}} - \frac{k}{m} = \omega_{n}^{2}\big(\zeta^{2}-1\big).

Passo 5

Caso subamortecido significa \zeta < 1 (ou, equivalentemente, c^{2} < 4km). Nessa situação as raízes da característica são complexas conjugadas:
r = -\frac{c}{2m} \pm i\,\omega_{d},
com a frequência amortecida (frequência angular das oscilações)
\omega_{d} = \omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}} = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{c^{2}}{4m^{2}}}.
A solução geral subamortecida tem a forma
x(t) = A\,e^{-\frac{c}{2m}t}\cos\big(\omega_{d}t+\varphi\big),
onde A e \varphi são constantes determinadas pelas condições iniciais. Observe que a amplitude efetiva (envelope) é A\,e^{-\frac{c}{2m}t}.

Passo 6

Analisando a proposição I:
  • A frequência de oscilação sem amortecimento é \omega_{n} = \sqrt{\dfrac{k}{m}} (caso \,c=0).
  • Para amortecimento subamortecido ( c>0 mas pequeno tal que \zeta<1), a frequência real de oscilação é \omega_{d} = \omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}.
  • Como 0<\sqrt{1-\zeta^{2}}<1 quando \zeta>0, segue que \omega_{d}<\omega_{n}.
    Portanto a proposição I é verdadeira: um oscilador subamortecido oscila com frequência menor do que o mesmo oscilador sem amortecimento.

Passo 7

Analisando a proposição II: precisamos ver como a taxa de decaimento da amplitude depende de \,m.
Da solução do Passo 5 vimos que o envelope temporal é
\text{envelope}(t) = A\,e^{-\frac{c}{2m}t}.
O expoente da decaída exponencial é \dfrac{c}{2m}. Isso significa que a taxa de decaimento (constante de decaimento) é
\lambda = \frac{c}{2m}.
Quanto maior \lambda, mais rápido decai a amplitude.

Passo 8

Interpretação da dependência em \,m:
  • A constante \lambda = \dfrac{c}{2m} diminui quando \,m aumenta (assumindo \,c fixo).
  • Logo, se aumentarmos a massa \,m mantendo o mesmo coeficiente de amortecimento \,c, a taxa de decaimento \lambda fica menor e a amplitude decai mais devagar, não mais rapidamente.
    Portanto a proposição II, que afirma que “a amplitude decai exponencialmente mais rapidamente quanto maior for a massa”, é falsa sob a suposição natural de que \,c é mantido fixo.

Passo 9

Resumo e observação final:
  • I é verdadeira porque \omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}<\omega_{n} quando c>0.
  • II é falsa porque a taxa de decaimento do envelope é \dfrac{c}{2m}, que diminui quando \,m aumenta (para \,c fixo). Assim, massa maior => decaimento mais lento, não mais rápido.
    (Se alguém alterasse simultaneamente \,c com \,m de forma diferente, a conclusão poderia mudar, mas a interpretação física usual é manter \,c fixo.)

Resposta

(4) Apenas I é verdadeira.

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