Analise, quanto ao amortecimento, cada tipo de sistema massa-mola livre m x^{\prime \prime}+h x^{\prime}+k x=0, x(0)=x_{0} e x^{\prime}(0)=v_{0} utilizando Transformadas de Laplace: ( 3,0 pontos)
m=2 \quad k=50 \quad x_{0}=-1 \quad v_{0}=2 \quad e \quad h=20

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que segue foi extraído do enunciado).
  • Equação diferencial: m x^{\prime\prime}+h x^{\prime}+k x=0.
  • Condições iniciais: x(0)=x_{0} e x^{\prime}(0)=v_{0}.
  • Valores numéricos fornecidos:
    • m=2,
    • h=20,
    • k=50,
    • x_{0}=-1,
    • v_{0}=2.
  • O enunciado pede: analisar quanto ao amortecimento (subamortecido / criticamente amortecido / superamortecido) e fazer a resolução usando Transformadas de Laplace.

Passo 2

Relembrando (rápido e prático) as propriedades da Transformada de Laplace que vamos usar:
  • Definição da Transformada de Laplace de uma função x(t):
\mathcal{L}\{x(t)\}=X(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-s t}x(t)\,dt.
  • Transformada das derivadas (válidas para funções com condições iniciais):
\mathcal{L}\{x^{\prime}(t)\}=sX(s)-x(0), \qquad \mathcal{L}\{x^{\prime\prime}(t)\}=s^{2}X(s)-s x(0)-x^{\prime}(0).
Essas fórmulas transformam uma EDO em uma equação algébrica em X(s), que é o atalho que facilita resolver com condições iniciais.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace à equação
m x^{\prime\prime}+h x^{\prime}+k x=0.
Usando as fórmulas de derivadas obtemos
m\bigl(s^{2}X(s)-s x(0)-x^{\prime}(0)\bigr) +h\bigl(sX(s)-x(0)\bigr) +kX(s)=0.
Agrupando os termos com X(s) e os termos conhecidos:
\bigl(m s^{2}+h s+k\bigr)X(s)-m s x(0)-m x^{\prime}(0)-h x(0)=0.
Daí isolamos X(s):
X(s)=\dfrac{m s x(0)+m x^{\prime}(0)+h x(0)}{m s^{2}+h s+k}.

Passo 4

Substituir os valores numéricos m=2, h=20, k=50, x(0)=x_{0}=-1, x^{\prime}(0)=v_{0}=2 na expressão de X(s).
Calcule primeiro o numerador:
m s x(0)+m x^{\prime}(0)+h x(0) =2 s(-1)+2\cdot 2+20(-1).
Fazendo as contas passo a passo:
2 s(-1)=-2 s,\qquad 2\cdot 2=4,\qquad 20(-1)=-20.
Somando:
-2 s+4-20=-2 s-16=-2(s+8).
Agora o denominador:
m s^{2}+h s+k = 2 s^{2}+20 s+50.
Observe que esse polinômio pode ser fatorado:
2 s^{2}+20 s+50 = 2\bigl(s^{2}+10 s+25\bigr)=2(s+5)^{2}.
Portanto
X(s)=\dfrac{-2(s+8)}{2(s+5)^{2}}=\dfrac{-(s+8)}{(s+5)^{2}}.

Passo 5

Preparar X(s) para a transformada inversa: escrevemos o numerador em termos de (s+5) para facilitar a inversão.
-(s+8)=-(s+5)-3,
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X(s)=\dfrac{-(s+5)-3}{(s+5)^{2}}=-\dfrac{s+5}{(s+5)^{2}}-\dfrac{3}{(s+5)^{2}}.
Simplificando:
X(s)=-\dfrac{1}{s+5}-\dfrac{3}{(s+5)^{2}}.
Agora usamos as transformadas inversas conhecidas:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s+a}\right\}=e^{-a t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s+a)^{2}}\right\}=t e^{-a t}.
Aplicando termo a termo:
x(t) = -e^{-5 t} - 3\,t e^{-5 t}=-(1+3t)e^{-5 t}.

Passo 6

Análise do amortecimento através do discriminante da equação característica:
  • A equação característica da EDO é
m s^{2}+h s+k=0.
  • O discriminante é
\Delta = h^{2}-4 m k.
Classificação geral:
  • Se \Delta>0: duas raízes reais distintas \Rightarrow sistema superamortecido.
  • Se \Delta=0: raiz real dupla \Rightarrow sistema criticamente amortecido.
  • Se \Delta<0: raízes complexas conjugadas \Rightarrow sistema subamortecido (oscilações amortecidas).
Calcular \Delta com os valores dados:
\Delta = 20^{2}-4\cdot 2\cdot 50 = 400-400=0.
Como \Delta=0, o sistema é criticamente amortecido. A raiz dupla vale
s=-\dfrac{h}{2m}=-\dfrac{20}{2\cdot 2}=-\dfrac{20}{4}=-5,
o que já aparece na solução geral do tipo (A+Bt)e^{-5t}. De fato a solução que encontramos por Laplace,
x(t)=-(1+3t)e^{-5 t},
é da forma de um sistema criticamente amortecido.

Passo 7

Interpretação final e incentivo rápido: o resultado mostra que o sistema não oscila (porque não há parte imaginária nas raízes), a resposta decai exponencialmente em torno de zero com um fator adicional linear em t devido à raiz dupla — isso é exatamente o comportamento crítico: o retorno à posição de equilíbrio é o mais rápido sem oscilações. Boa! Você conseguiu usar Laplace e verificar o tipo de amortecimento passo a passo.

Resposta

Tipo de amortecimento: criticamente amortecido ( \Delta=0).
Solução: x(t)=-(1+3t)e^{-5 t}.

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