Analise, quanto ao amortecimento, cada tipo de sistema massa-mola livre
e
utilizando Transformadas de Laplace: ( 3,0 pontos)
e
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (tudo que segue foi extraído do enunciado).
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais:
e . - Valores numéricos fornecidos:
-
, -
, -
, -
, -
.
-
- O enunciado pede: analisar quanto ao amortecimento (subamortecido / criticamente amortecido / superamortecido) e fazer a resolução usando Transformadas de Laplace.
Passo 2
Relembrando (rápido e prático) as propriedades da Transformada de Laplace que vamos usar:
- Definição da Transformada de Laplace de uma função
:
- Transformada das derivadas (válidas para funções com condições iniciais):
Essas fórmulas transformam uma EDO em uma equação algébrica em
, que é o atalho que facilita resolver com condições iniciais.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace à equação
Usando as fórmulas de derivadas obtemos
Agrupando os termos com
e os termos conhecidos:
Daí isolamos
:
Passo 4
Substituir os valores numéricos
,
,
,
,
na expressão de
.
Calcule primeiro o numerador:
Calcule primeiro o numerador:
Fazendo as contas passo a passo:
Somando:
Agora o denominador:
Observe que esse polinômio pode ser fatorado:
Portanto
Passo 5
Preparar
para a transformada inversa: escrevemos o numerador em termos de
para facilitar a inversão.
logo
Simplificando:
Agora usamos as transformadas inversas conhecidas:
Aplicando termo a termo:
Passo 6
Análise do amortecimento através do discriminante da equação característica:
- A equação característica da EDO é
- O discriminante é
Classificação geral:
- Se
: duas raízes reais distintas sistema superamortecido. - Se
: raiz real dupla sistema criticamente amortecido. - Se
: raízes complexas conjugadas sistema subamortecido (oscilações amortecidas).
Calcular
com os valores dados:
Como
, o sistema é criticamente amortecido. A raiz dupla vale
o que já aparece na solução geral do tipo
. De fato a solução que encontramos por Laplace,
é da forma de um sistema criticamente amortecido.
Passo 7
Interpretação final e incentivo rápido: o resultado mostra que o sistema não oscila (porque não há parte imaginária nas raízes), a resposta decai exponencialmente em torno de zero com um fator adicional linear em
devido à raiz dupla — isso é exatamente o comportamento crítico: o retorno à posição de equilíbrio é o mais rápido sem oscilações. Boa! Você conseguiu usar Laplace e verificar o tipo de amortecimento passo a passo.
Resposta
Tipo de amortecimento: criticamente amortecido (
).
Solução: .
Solução: