Exercício 2. Encontre a solução de cada um dos PVIs seguintes:
\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\frac{y^{2}}{x^{2}}, y(1)=1.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
\frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\frac{y^{2}}{x^{2}},\qquad y(1)=1.
O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para x em algum intervalo contendo 1 e que também satisfaz a condição inicial y(1)=1.
Informações importantes extraídas do enunciado:
  • A equação diferencial é uma equação ordinária de primeira ordem não-linear.
  • A condição inicial é y(1)=1, ou seja, o valor de y em x=1.
  • Como a equação envolve termos em x no denominador e aparecerá \ln x no processo, vamos trabalhar com x>0 (intervalo contendo 1).

Passo 2

Reescrevemos a equação isolando termos de y de forma padrão (colocando o termo linear em y no lado esquerdo):
\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x}y=\frac{1}{x^{2}}y^{2}.
Esta é uma equação do tipo onde aparece y^{2} no lado direito; uma técnica clássica é transformar essa equação numa equação linear por uma substituição adequada. Vou explicar essa técnica passo a passo.
Regra geral (explicação): para uma equação da forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x)\,y^{n},
faz-se a substituição
z=y^{\,1-n}.
Aqui P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x e n é o expoente da potência de y. A ideia é que a nova variável z satisfaça uma equação linear de primeira ordem.
No nosso caso temos P(x)=-\dfrac{1}{x}, Q(x)=\dfrac{1}{x^{2}} e n=2. Então
z=y^{\,1-2}=y^{-1}=\frac{1}{y}.
Calculemos dz/dx. Pelo cálculo de derivada,
\frac{dz}{dx}=\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{y}\right)=-\frac{1}{y^{2}}\frac{dy}{dx}.
Agora substituímos \dfrac{dy}{dx} usando a equação original:
\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{y^{2}}\left(\frac{y}{x}+\frac{y^{2}}{x^{2}}\right).
Simplificando termo a termo:
\frac{dz}{dx}=-\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{y}-\frac{1}{x^{2}}
e lembrando que \dfrac{1}{y}=z obtemos a equação linear
\frac{dz}{dx}+\frac{1}{x}z=-\frac{1}{x^{2}}.

Passo 3

Agora resolvemos a equação linear para z(x):
\frac{dz}{dx}+\frac{1}{x}z=-\frac{1}{x^{2}}.
Método do fator integrante (explicação): para uma equação dz/dx+P(x)z=R(x), o fator integrante é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Multiplicando a equação por \mu(x) conseguimos escrever o lado esquerdo como derivada de \mu(x)z.
Aqui P(x)=\dfrac{1}{x}, logo
\mu(x)=e^{\int \frac{1}{x}\,dx}=e^{\ln x}=x\qquad (x>0).
Multiplicando a equação por x:
x\frac{dz}{dx}+z=-\frac{1}{x}.
O lado esquerdo é a derivada de x z, portanto
\frac{d}{dx}\big(x z\big)=-\frac{1}{x}.
Integramos ambos os lados em relação a x:
x z = -\int \frac{1}{x}\,dx = -\ln x + C,
onde C é constante de integração. Assim
z(x)=\frac{C-\ln x}{x}.

Passo 4

Voltamos à variável original usando z=\dfrac{1}{y}. Assim,
\frac{1}{y}=\frac{C-\ln x}{x}.
Invertendo,
y(x)=\frac{x}{C-\ln x}.
Agora aplicamos a condição inicial y(1)=1. Substituindo x=1:
1 = y(1)=\frac{1}{C-\ln 1}=\frac{1}{C-0}=\frac{1}{C}.
Logo C=1. Portanto a solução que satisfaz o PVI é
y(x)=\frac{x}{1-\ln x}.

Passo 5

Discussão sobre domínio (importante para a prova): durante a resolução usamos \ln x, então trabalhamos com x>0. Além disso, o denominador não pode ser zero, isto é 1-\ln x\neq0. A equação 1-\ln x=0 tem solução x=e. Como a condição inicial está em x=1, o maior intervalo aberto contendo 1 no qual a solução é válida é 0<x<e. A solução tem singularidade (explode) quando x\to e^{-}.
Resumo rápido do que fizemos (motivação para lembrar na prova): reconhecemos a forma que permite a substituição z=1/y (caso particular da transformação de Bernoulli), transformamos para uma equação linear em z, usamos fator integrante x, integramos, voltamos a y e aplicamos a condição inicial.

Resposta

y(x)=\dfrac{x}{1-\ln x}
x\in(0,e)

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