Exercício 2. Encontre a solução de cada um dos PVIs seguintes:
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para
em algum intervalo contendo
e que também satisfaz a condição inicial
.
Informações importantes extraídas do enunciado:
- A equação diferencial é uma equação ordinária de primeira ordem não-linear.
- A condição inicial é
, ou seja, o valor de em . - Como a equação envolve termos em
no denominador e aparecerá no processo, vamos trabalhar com (intervalo contendo ).
Passo 2
Reescrevemos a equação isolando termos de
de forma padrão (colocando o termo linear em
no lado esquerdo):
Esta é uma equação do tipo onde aparece
no lado direito; uma técnica clássica é transformar essa equação numa equação linear por uma substituição adequada. Vou explicar essa técnica passo a passo.
Regra geral (explicação): para uma equação da forma
faz-se a substituição
Aqui
e
são funções conhecidas de
e
é o expoente da potência de
. A ideia é que a nova variável
satisfaça uma equação linear de primeira ordem.
No nosso caso temos
,
e
. Então
Calculemos
. Pelo cálculo de derivada,
Agora substituímos
usando a equação original:
Simplificando termo a termo:
e lembrando que
obtemos a equação linear
Passo 3
Agora resolvemos a equação linear para
:
Método do fator integrante (explicação): para uma equação
, o fator integrante é
Multiplicando a equação por
conseguimos escrever o lado esquerdo como derivada de
.
Aqui
, logo
Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada de
, portanto
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Assim
Passo 4
Voltamos à variável original usando
. Assim,
Invertendo,
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
:
Logo
. Portanto a solução que satisfaz o PVI é
Passo 5
Discussão sobre domínio (importante para a prova): durante a resolução usamos
, então trabalhamos com
. Além disso, o denominador não pode ser zero, isto é
. A equação
tem solução
. Como a condição inicial está em
, o maior intervalo aberto contendo
no qual a solução é válida é
. A solução tem singularidade (explode) quando
.
Resumo rápido do que fizemos (motivação para lembrar na prova): reconhecemos a forma que permite a substituição
(caso particular da transformação de Bernoulli), transformamos para uma equação linear em
, usamos fator integrante
, integramos, voltamos a
e aplicamos a condição inicial.