Analise, quanto ao amortecimento, cada tipo de sistema massa-mola livre
e
utilizando Transformadas de Laplace: ( 3,0 pontos)
e
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que ele pede (peguei todos esses dados do enunciado).
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais:
e . - Parâmetros numéricos (dados):
. - O que se pede: analisar o amortecimento do sistema (ou seja, dizer se é subamortecido / criticamente amortecido / sobreamortecido) utilizando Transformada de Laplace. Também vamos obter a solução
com as condições iniciais para confirmar a análise.
Passo 2
Relembrando as fórmulas da Transformada de Laplace que vamos usar (aqui explico o que cada símbolo significa):
- Seja
a transformada de Laplace da função desconhecida . A variável é a variável complexa da transformada. - Fórmulas para derivadas (estas são padrão e muito úteis para transformar EDOs):
- Explicação curta: essas fórmulas transformam derivadas em expressões algébricas em
, envolvendo e os valores iniciais e . Isso permite resolver a EDO no domínio de como uma equação algébrica.
Passo 3
Aplicar a Transformada de Laplace na equação
(substituí
pelos valores numéricos).
Tomando transformadas:
Agora substituo
e
:
Desenvolvendo os termos constantes e agrupando os que contêm
:
Calculei a soma dos termos constantes não multiplicados por
:
.
Logo:
Isolando
:
Passo 4
Simplifico fatorando
no numerador e denominador:
Observação importante (relacionada ao amortecimento):
- O polinômio característico da EDO é
, equivalente a . - O discriminante é
. - Como
, a equação característica tem uma raiz real dupla, ou seja, duas raízes iguais: (dupla). - Interpretação: discriminante zero implica amortecimento crítico (amortecimento crítico = caso limiar entre oscilações amortecidas e decaimento sem oscilações). Portanto já antecipamos: o sistema é criticamente amortecido. Mais abaixo confirmaremos com a solução.
Passo 5
Agora faço a decomposição em frações parciais para inverter a transformada. Já tenho
Procuro
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
:
Igualando coeficientes (ou avaliando em valores convenientes):
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Logo a decomposição é
Passo 6
Faço a transformada inversa usando as fórmulas básicas:
-
. -
.
No nosso caso
. Aplicando a inversa a cada termo:
Essa é a solução explícita no domínio do tempo, válida para
, obtida diretamente pela Transformada de Laplace.
Passo 7
Verificação rápida com as condições iniciais (confirmação de que não houve erro aritmético):
- Em
: , coincide com . - Derivando
: primeiro escrevo com . Então Em : , que coincide com . - Portanto a solução está correta.
Passo 8
Conclusão sobre amortecimento (explicando didaticamente o que isso significa):
- Pelo cálculo do discriminante
obtivemos . Em termos físicos e da equação característica, isso caracteriza o caso de amortecimento crítico. - Significado prático do amortecimento crítico:
- Não há oscilações (sem seno/cosseno no decaimento).
- O sistema retorna ao equilíbrio tão rapidamente quanto possível sem oscilar (é o limite entre oscilar e não oscilar).
- A solução temporal tem forma
com real e negativo (aqui ), o que produz um decaimento exponencial multiplicado por um termo linear em .
- Taxa de decaimento:
indica tempo característico (unidades de tempo), ou seja, decai rápido.
Resposta
Amortecimento: crítico (amortecimento crítico), pois
.