Analise, quanto ao amortecimento, cada tipo de sistema massa-mola livre m x^{n}+h x^{2}+k x=0, x(0)=x_{0} e x^{\prime}(0)=v_{0} utilizando Transformadas de Laplace: ( 3,0 pontos)
m=2 \quad k=50 \quad x_{0}=-1 \quad v_{0}=2 \quad e \quad h=20

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que ele pede (peguei todos esses dados do enunciado).
  • Equação diferencial: \;m\,x''(t)+h\,x'(t)+k\,x(t)=0.
  • Condições iniciais: \;x(0)=x_{0}=-1 e \;x'(0)=v_{0}=2.
  • Parâmetros numéricos (dados): \;m=2,\;h=20,\;k=50.
  • O que se pede: analisar o amortecimento do sistema (ou seja, dizer se é subamortecido / criticamente amortecido / sobreamortecido) utilizando Transformada de Laplace. Também vamos obter a solução x(t) com as condições iniciais para confirmar a análise.

Passo 2

Relembrando as fórmulas da Transformada de Laplace que vamos usar (aqui explico o que cada símbolo significa):
  • Seja \;X(s)=\mathcal{L}\{x(t)\} a transformada de Laplace da função desconhecida x(t). A variável s é a variável complexa da transformada.
  • Fórmulas para derivadas (estas são padrão e muito úteis para transformar EDOs): \mathcal{L}\{x'(t)\}=sX(s)-x(0),
\mathcal{L}\{x''(t)\}=s^{2}X(s)-s\,x(0)-x'(0).
  • Explicação curta: essas fórmulas transformam derivadas em expressões algébricas em s, envolvendo X(s) e os valores iniciais x(0) e x'(0). Isso permite resolver a EDO no domínio de s como uma equação algébrica.

Passo 3

Aplicar a Transformada de Laplace na equação \;2x''+20x'+50x=0 (substituí m,h,k pelos valores numéricos).
Tomando transformadas:
2\big(s^{2}X(s)-s x(0)-x'(0)\big)+20\big(sX(s)-x(0)\big)+50X(s)=0.
Agora substituo x(0)=-1 e x'(0)=2:
2\big(s^{2}X(s)-s(-1)-2\big)+20\big(sX(s)-(-1)\big)+50X(s)=0.
Desenvolvendo os termos constantes e agrupando os que contêm X(s):
2s^{2}X(s)+20sX(s)+50X(s) \;+\; \big(2s-4+20\big)=0.
Calculei a soma dos termos constantes não multiplicados por X(s): 2s-4+20=2s+16.
Logo:
X(s)\big(2s^{2}+20s+50\big)+(2s+16)=0.
Isolando X(s):
X(s)=-\dfrac{2s+16}{2s^{2}+20s+50}.

Passo 4

Simplifico fatorando 2 no numerador e denominador:
X(s)=-\dfrac{2(s+8)}{2\big(s^{2}+10s+25\big)}=-\dfrac{s+8}{(s+5)^{2}}.
Observação importante (relacionada ao amortecimento):
  • O polinômio característico da EDO é \;2r^{2}+20r+50=0, equivalente a \;r^{2}+10r+25=0.
  • O discriminante é \;\Delta = (10)^{2}-4\cdot1\cdot25=100-100=0.
  • Como \Delta=0, a equação característica tem uma raiz real dupla, ou seja, duas raízes iguais: r=-5 (dupla).
  • Interpretação: discriminante zero implica amortecimento crítico (amortecimento crítico = caso limiar entre oscilações amortecidas e decaimento sem oscilações). Portanto já antecipamos: o sistema é criticamente amortecido. Mais abaixo confirmaremos com a solução.

Passo 5

Agora faço a decomposição em frações parciais para inverter a transformada. Já tenho
X(s)=-\dfrac{s+8}{(s+5)^{2}}.
Procuro A e B tais que
-\dfrac{s+8}{(s+5)^{2}}=\dfrac{A}{s+5}+\dfrac{B}{(s+5)^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por (s+5)^{2}:
-(s+8)=A(s+5)+B.
Igualando coeficientes (ou avaliando em valores convenientes):
  • Coeficiente de s: -1 = A \Rightarrow A=-1.
  • Termo constante: -8 = 5A + B = 5(-1)+B \Rightarrow -8=-5+B \Rightarrow B=-3.
Logo a decomposição é
X(s)=-\dfrac{1}{s+5}-\dfrac{3}{(s+5)^{2}}.

Passo 6

Faço a transformada inversa usando as fórmulas básicas:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s-a}\right\}=e^{a t}.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{(s-a)^{2}}\right\}=t e^{a t}.
No nosso caso a=-5. Aplicando a inversa a cada termo:
x(t)= -e^{-5t} \;-\;3\,t\,e^{-5t} = (-1-3t)\,e^{-5t}.
Essa é a solução explícita no domínio do tempo, válida para t\ge 0, obtida diretamente pela Transformada de Laplace.

Passo 7

Verificação rápida com as condições iniciais (confirmação de que não houve erro aritmético):
  • Em t=0: x(0)=(-1-3\cdot0)e^{0}=-1, coincide com x_{0}=-1.
  • Derivando x(t): primeiro escrevo x(t)=(A+Bt)e^{-5t} com A=-1,B=-3. Então x'(t)=\big(B\big)e^{-5t}+(A+Bt)(-5)e^{-5t}=e^{-5t}\big(B-5A-5Bt\big).Em t=0: x'(0)=B-5A=(-3)-5(-1)=-3+5=2, que coincide com v_{0}=2.
  • Portanto a solução está correta.

Passo 8

Conclusão sobre amortecimento (explicando didaticamente o que isso significa):
  • Pelo cálculo do discriminante \Delta=h^{2}-4mk obtivemos \Delta=0. Em termos físicos e da equação característica, isso caracteriza o caso de amortecimento crítico.
  • Significado prático do amortecimento crítico:
    • Não há oscilações (sem seno/cosseno no decaimento).
    • O sistema retorna ao equilíbrio tão rapidamente quanto possível sem oscilar (é o limite entre oscilar e não oscilar).
    • A solução temporal tem forma (C_{1}+C_{2}t)e^{rt} com r real e negativo (aqui r=-5), o que produz um decaimento exponencial multiplicado por um termo linear em t.
  • Taxa de decaimento: e^{-5t} indica tempo característico \tau=1/5=0{,}2 (unidades de tempo), ou seja, decai rápido.

Resposta

Amortecimento: crítico (amortecimento crítico), pois h^{2}-4mk=0.
x(t)=(-1-3t)\,e^{-5t}.

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