Com auxilio do método da Série de Taylor, encontre a solução em séries de potências do problema de valor inicial: (1,5 ponto)
Passo 1
O problema nos dá a equação diferencial e as condições iniciais:
O que se pede: encontrar a solução em séries de potências (método de Taylor). As informações relevantes são exatamente a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais e os valores de
e
em
.]
Passo 2
Ideia do método de séries de potências (explicação didática): vamos escrever
como uma série de potências centrada em
(desenvolvimento de Taylor):
onde os
são constantes desconhecidas que vamos determinar usando a equação diferencial. Diferenciando termo a termo (o que é válido dentro do raio de convergência), obtemos:
Explico rapidamente cada passo: a soma original tem termo
. Ao derivar, o expoente cai multiplicando pelo coeficiente e diminui em uma unidade; reindexando as somas obtemos as formas escritas em termos de potências
para facilitar a comparação dos coeficientes.
Passo 3
Substituímos
,
e
na equação diferencial:
A segunda soma tem um fator
; reescrevendo-a como série em potências
(fazendo
ou simplesmente observando os termos) obtemos
Agora juntamos todas as séries em potências de
. Para
a soma das contribuições dá:
Para
igualando coeficientes de
temos:
Passo 4
Simplificando a relação para
(ela vale já incluindo
), obtemos a recorrência
Essa fórmula permite obter coeficientes dois a dois (liga
a
). É típico em equações com termos par/ímpar que os coeficientes pares e ímpares se separem em duas sequências.
Passo 5
Aplicamos as condições iniciais para fixar os dois primeiros coeficientes:
Portanto
e
. Observação importante: como
e a recorrência liga
a
, todos os coeficientes de índice par serão nulos (pois
depende de
,
de
, etc.). Assim a solução será uma série só em potências ímpares.
Passo 6
Vamos calcular os primeiros coeficientes passo a passo usando a recorrência.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Assim os primeiros termos não nulos são
Passo 7
Observando o padrão:
para todo
e os coeficientes ímpares seguem uma recorrência de segunda ordem que pode ser escrita tomando
. Para
temos
com
. Daí uma forma fechada em produto para os coeficientes ímpares é
e
. Essa expressão vem simplesmente multiplicando iterativamente a relação de recorrência; ela é suficiente para gerar qualquer termo sem necessidade de cálculos com a equação diferencial novamente.
Passo 8
Finalmente escrevemos a solução em série de potências (série ímpar) com os coeficientes calculados:
onde os coeficientes
são dados pela fórmula em produto do passo anterior.
Resposta
com