Com auxilio do método da Série de Taylor, encontre a solução em séries de potências do problema de valor inicial: (1,5 ponto)
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}+y=0 \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1 \end{array}\right.

Passo 1

O problema nos dá a equação diferencial e as condições iniciais:
\left\{\begin{array}{l} y''+2xy'+y=0,\\[4pt] y(0)=0,\;y'(0)=1. \end{array}\right.
O que se pede: encontrar a solução em séries de potências (método de Taylor). As informações relevantes são exatamente a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes polinomiais e os valores de y e y' em x=0.]

Passo 2

Ideia do método de séries de potências (explicação didática): vamos escrever y como uma série de potências centrada em 0 (desenvolvimento de Taylor):
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,
onde os a_n são constantes desconhecidas que vamos determinar usando a equação diferencial. Diferenciando termo a termo (o que é válido dentro do raio de convergência), obtemos:
y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^n,
y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n.
Explico rapidamente cada passo: a soma original tem termo a_n x^n. Ao derivar, o expoente cai multiplicando pelo coeficiente e diminui em uma unidade; reindexando as somas obtemos as formas escritas em termos de potências x^n para facilitar a comparação dos coeficientes.

Passo 3

Substituímos y, y' e y'' na equação diferencial:
\sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)a_{n+2}x^n +2x\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^n +\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n=0.
A segunda soma tem um fator x; reescrevendo-a como série em potências x^n (fazendo k=n+1 ou simplesmente observando os termos) obtemos
2x\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)a_{n+1}x^n=\sum_{n=1}^{\infty}2n a_n x^n.
Agora juntamos todas as séries em potências de x^n. Para n=0 a soma das contribuições dá:
(2\cdot1)a_2 + a_0 = 0 \quad\Rightarrow\quad 2a_2+a_0=0.
Para n\ge 1 igualando coeficientes de x^n temos:
(n+2)(n+1)a_{n+2}+2n a_n + a_n =0.

Passo 4

Simplificando a relação para n\ge0 (ela vale já incluindo n=0), obtemos a recorrência
a_{n+2}=-\dfrac{2n+1}{(n+2)(n+1)}\,a_n,\qquad n=0,1,2,\dots
Essa fórmula permite obter coeficientes dois a dois (liga a_{n+2} a a_n). É típico em equações com termos par/ímpar que os coeficientes pares e ímpares se separem em duas sequências.

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais para fixar os dois primeiros coeficientes:
y(0)=a_0=0,
y'(0)=a_1=1.
Portanto a_0=0 e a_1=1. Observação importante: como a_0=0 e a recorrência liga a_{n+2} a a_n, todos os coeficientes de índice par serão nulos (pois a_2 depende de a_0, a_4 de a_2, etc.). Assim a solução será uma série só em potências ímpares.

Passo 6

Vamos calcular os primeiros coeficientes passo a passo usando a recorrência.
  • Para n=0:
a_2=-\dfrac{2\cdot0+1}{2\cdot1}a_0=-\dfrac{1}{2}a_0=0.
  • Para n=1:
a_3=-\dfrac{2\cdot1+1}{3\cdot2}a_1=-\dfrac{3}{6}\cdot1=-\dfrac{1}{2}.
  • Para n=2:
a_4=-\dfrac{2\cdot2+1}{4\cdot3}a_2=-\dfrac{5}{12}\cdot 0=0.
  • Para n=3:
a_5=-\dfrac{2\cdot3+1}{5\cdot4}a_3=-\dfrac{7}{20}\cdot\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{7}{40}.
  • Para n=4:
a_6=-\dfrac{2\cdot4+1}{6\cdot5}a_4=0.
  • Para n=5:
a_7=-\dfrac{2\cdot5+1}{7\cdot6}a_5=-\dfrac{11}{42}\cdot\dfrac{7}{40}=-\dfrac{11}{240}.
  • Para n=6:
a_8=0.
  • Para n=7:
a_9=-\dfrac{2\cdot7+1}{9\cdot8}a_7=-\dfrac{15}{72}\cdot\left(-\dfrac{11}{240}\right)=\dfrac{11}{1152}.
Assim os primeiros termos não nulos são
a_1=1,\quad a_3=-\dfrac{1}{2},\quad a_5=\dfrac{7}{40},\quad a_7=-\dfrac{11}{240},\quad a_9=\dfrac{11}{1152},\\ \ldots

Passo 7

Observando o padrão: a_{2m}=0 para todo m\ge0 e os coeficientes ímpares seguem uma recorrência de segunda ordem que pode ser escrita tomando b_m=a_{2m+1}. Para m\ge0 temos
b_{m+1}=-\dfrac{4m+3}{(2m+3)(2m+2)}\,b_m,
com b_0=a_1=1. Daí uma forma fechada em produto para os coeficientes ímpares é
b_m=a_{2m+1}=(-1)^m\prod_{k=0}^{m-1}\dfrac{4k+3}{(2k+3)(2k+2)}\quad(m\ge1),
e b_0=1. Essa expressão vem simplesmente multiplicando iterativamente a relação de recorrência; ela é suficiente para gerar qualquer termo sem necessidade de cálculos com a equação diferencial novamente.

Passo 8

Finalmente escrevemos a solução em série de potências (série ímpar) com os coeficientes calculados:
y(x)=\sum_{m=0}^{\infty}a_{2m+1}x^{2m+1} = x-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{7}{40}x^5-\dfrac{11}{240}x^7+\dfrac{11}{1152}x^9+\cdots,
onde os coeficientes a_{2m+1} são dados pela fórmula em produto do passo anterior.

Resposta

y(x)=\sum_{m=0}^{\infty}a_{2m+1}x^{2m+1} = x-\dfrac{1}{2}x^3+\dfrac{7}{40}x^5-\dfrac{11}{240}x^7+\dfrac{11}{1152}x^9+\cdots,
com
a_{2m+1}=(-1)^m\prod_{k=0}^{m-1}\dfrac{4k+3}{(2k+3)(2k+2)},\quad a_{2m}=0,\quad a_1=1.

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