(a) Defina os vetores \mathrm{V} 1=[1 ; 2 ; 3], \mathrm{V} 2=[3 ; 4 ; 5] e \mathrm{V} 3=[5 ; 6 ; 7]. Defina o vetor aleatório \mathrm{V}= randi (3,1). Verifique se V é combinação linear de V1, V2 e V3.
(b) Defina a matriz aleatória \mathrm{M}= randi (3,5). Verifique se os vetores definidos pelas colunas de M são combinação linear de V1, V2 e V3. Tente explicar o resultado.
(c) Verifique se V1, V2 e V3 são linearmente independentes. Se eles forem linearmente dependentes, escreva um deles como combinação linear dos outros e verifique o resultado.

Passo 1

O enunciado e os dados que nos foram dados (vou copiar exatamente o que foi pedido):
  • Foram definidas as três colunas-vetores
\mathrm{V1}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]3\end{pmatrix},\qquad \mathrm{V2}=\begin{pmatrix}3\\[2pt]4\\[2pt]5\end{pmatrix},\qquad \mathrm{V3}=\begin{pmatrix}5\\[2pt]6\\[2pt]7\end{pmatrix}.
  • Foi pedido em (a) definir o vetor aleatório \mathrm{V}=\text{randi}(3,1) e verificar se \mathrm{V} é combinação linear de \mathrm{V1},\mathrm{V2},\mathrm{V3}. (Interpreto \text{randi}(3,1) como um vetor coluna 3\times1 com entradas aleatórias em \{1,2,3\}.)
  • Em (b) foi dada a matriz aleatória \mathrm{M}=\text{randi}(3,5) (interpreto como uma matriz 3\times5 com entradas em \{1,2,3\}) e pede-se verificar se as colunas de \mathrm{M} são combinações lineares de \mathrm{V1},\mathrm{V2},\mathrm{V3} e explicar o resultado.
  • Em (c) pede-se verificar se \mathrm{V1},\mathrm{V2},\mathrm{V3} são linearmente independentes; se forem dependentes, escrever um deles como combinação linear dos outros e verificar.
Essas são as três coisas a fazer; a partir daqui eu vou explicar passo a passo como verificar cada item e mostrar os cálculos necessários.]

Passo 2

O que significa ser “combinação linear” e como checar na prática (pequena aula prática):
  • Definição (simples): um vetor w\in\mathbb{R}^3 é combinação linear de \mathrm{V1},\mathrm{V2},\mathrm{V3} se existem escalares a,b,c tais que
a\,\mathrm{V1}+b\,\mathrm{V2}+c\,\mathrm{V3}=w.
Isso é uma equação de vectores em \mathbb{R}^3, equivalente a um sistema linear 3 equações em 3 incógnitas a,b,c.
  • Forma matricial: se montarmos a matriz A cujas colunas são \mathrm{V1},\mathrm{V2},\mathrm{V3},
A=\begin{pmatrix}1&3&5\\[2pt]2&4&6\\[2pt]3&5&7\end{pmatrix},
então w é combinação linear das colunas de A se o sistema matricial
A\begin{pmatrix}a\\[2pt]b\\[2pt]c\end{pmatrix}=w
tem solução.
  • Procedimento prático para verificar: tentar resolver o sistema acima por eliminação (ou, de forma mais rápida quando houver dependência entre as colunas, usar uma condição que caracterize a imagem/coluna de A). Se A tiver posto 3, toda w\in\mathbb{R}^3 será combinação; se o posto for 2, somente um plano de vetores será combinação; se o posto for 1, somente múltiplos de um vetor serão combinação.
Vou aplicar isso agora ao nosso caso concreto.]

Passo 3

Calcular o determinante de A para checar independência das colunas (teste direto; se \det A\neq0 então as colunas são independentes e geram \mathbb{R}^3).
A matriz é
A=\begin{pmatrix}1&3&5\\[2pt]2&4&6\\[2pt]3&5&7\end{pmatrix}.
Calculemos \det A expandindo pela primeira linha (fazendo contas passo a passo):
\det A =1\cdot\det\begin{pmatrix}4&6\\[2pt]5&7\end{pmatrix} -3\cdot\det\begin{pmatrix}2&6\\[2pt]3&7\end{pmatrix} +5\cdot\det\begin{pmatrix}2&4\\[2pt]3&5\end{pmatrix}.
Agora cada menor:
\det\begin{pmatrix}4&6\\[2pt]5&7\end{pmatrix}=4\cdot7-6\cdot5=28-30=-2,
\det\begin{pmatrix}2&6\\[2pt]3&7\end{pmatrix}=2\cdot7-6\cdot3=14-18=-4,
\det\begin{pmatrix}2&4\\[2pt]3&5\end{pmatrix}=2\cdot5-4\cdot3=10-12=-2.
Substituindo:
\det A = 1\cdot(-2) -3\cdot(-4) +5\cdot(-2) = -2 +12 -10 = 0.
Conclusão: \det A=0, portanto as colunas \mathrm{V1},\mathrm{V2},\mathrm{V3} são linearmente dependentes; o posto de A é menor que 3. Vamos explorar a dependência explícita.]

Passo 4

Achar uma relação linear não trivial entre \mathrm{V1},\mathrm{V2},\mathrm{V3} (ou seja, encontrar escalares não todos nulos p,q,r tais que p\mathrm{V1}+q\mathrm{V2}+r\mathrm{V3}=0).
Uma maneira rápida é tentar combinações simples. Testamos a combinação
\mathrm{V1}-2\mathrm{V2}+\mathrm{V3}.
Calculemos componente a componente:
\mathrm{V1}-2\mathrm{V2}+\mathrm{V3} =\begin{pmatrix}1\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix} -2\begin{pmatrix}3\\\ 4\\\ 5\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}5\\\ 6\\\ 7\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1-6+5\\[2pt]2-8+6\\[2pt]3-10+7\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.
Portanto a relação
\mathrm{V1}-2\mathrm{V2}+\mathrm{V3}=0
é verdadeira. Dela podemos isolar qualquer vetor; por exemplo:
\mathrm{V3}=2\mathrm{V2}-\mathrm{V1}.
Isto mostra explicitamente que \mathrm{V3} é combinação linear de \mathrm{V1} e \mathrm{V2}, e que o espaço gerado por \{\mathrm{V1},\mathrm{V2},\mathrm{V3}\} tem dimensão 2 (é um plano em \mathbb{R}^3).]

Passo 5

Caracterizar explicitamente quais vetores de \mathbb{R}^3 pertencem ao espaço gerado pelas colunas (isto é útil para (a) e (b)).
Quando as colunas satisfazem a relação
\mathrm{V1}-2\mathrm{V2}+\mathrm{V3}=0,
isso significa que existe um vetor não nulo n\in\mathbb{R}^3 (vetor normal) tal que, para todo vetor w na coluna-espaço, n^\top w=0. Vamos obter esse n.
Procuramos n=(x,y,z)^\top tal que
x\cdot 1 + y\cdot 2 + z\cdot 3=0,
x\cdot 3 + y\cdot 4 + z\cdot 5=0,
x\cdot 5 + y\cdot 6 + z\cdot 7=0.
Subtraindo a primeira equação da segunda e a segunda da terceira obtemos a mesma equação
x+y+z=0.
Usando isso com a primeira equação x+2y+3z=0 obtemos y+2z=0, logo y=-2z e x=z. Tomando z=1 obtemos
n=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-2\\[2pt]1\end{pmatrix}.
Portanto o espaço coluna de A (o plano gerado por \mathrm{V1},\mathrm{V2},\mathrm{V3}) é exatamente o conjunto dos vetores w=\begin{pmatrix}w_1\\[2pt]w_2\\[2pt]w_3\end{pmatrix} que satisfazem
\begin{pmatrix}1&-2&1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}w_1\\[2pt]w_2\\[2pt]w_3\end{pmatrix}=0, \qquad\text{i.e.}\qquad w_1-2w_2+w_3=0.
Essa é a condição linear simples e prática que vamos usar para verificar se um vetor qualquer é combinação linear das colunas.]

Passo 6

Aplicação a (a): como verificar se o vetor aleatório \mathrm{V} é combinação linear de \mathrm{V1},\mathrm{V2},\mathrm{V3}.
  • Critério rápido: \mathrm{V} é combinação linear das colunas se e somente se suas componentes \mathrm{V}=(v_1,v_2,v_3)^\top satisfazem
v_1-2v_2+v_3=0.
  • Como usar na prática: ao gerar \mathrm{V}=\text{randi}(3,1) (vetor com entradas em \{1,2,3\}), compute o número s=v_1-2v_2+v_3. Se s=0, então existe solução para A\begin{pmatrix}a\\[2pt]b\\[2pt]c\end{pmatrix}=\mathrm{V} e assim \mathrm{V} é combinação linear; se s\neq0, então \mathrm{V} não está no plano gerado por \mathrm{V1},\mathrm{V2},\mathrm{V3} e, portanto, não é combinação linear.
  • Exemplo rápido (ilustrativo): se \mathrm{V}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}, então 1-2\cdot1+1=0 e portanto esse \mathrm{V} é combinação linear (poderia-se resolver para os coeficientes a,b,c se desejado). Se \mathrm{V}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]1\\[2pt]2\end{pmatrix}, então 1-2\cdot1+2=1\neq0, logo não é combinação.
  • Caso positivo (se s=0): para obter os coeficientes explicitamente pode-se usar a base \{\mathrm{V1},\mathrm{V2}\} (são independentes) e resolver
\alpha\,\mathrm{V1}+\beta\,\mathrm{V2}=\mathrm{V}
por eliminação (sistema 3\times2 que tem solução única quando \mathrm{V} está no plano). Em outras palavras, quando v_1-2v_2+v_3=0 existe uma e só uma forma de escrever \mathrm{V} como combinação de \mathrm{V1} e \mathrm{V2}.]

Passo 7

Aplicação a (b): verificar as colunas de \mathrm{M}=\text{randi}(3,5).
  • Cada coluna \mathrm{m}_j (para j=1,\dots,5) é um vetor de \mathbb{R}^3 com entradas em \{1,2,3\}. Pelo mesmo critério da etapa anterior, \mathrm{m}_j é combinação linear de \mathrm{V1},\mathrm{V2},\mathrm{V3} se e somente se
(\mathrm{m}_j)_1 - 2(\mathrm{m}_j)_2 + (\mathrm{m}_j)_3 = 0.
  • Explicação do resultado esperado: como os componentes das colunas são gerados aleatoriamente em \{1,2,3\}, a probabilidade de que uma coluna escolhida aleatoriamente satisfaça exatamente essa equação é baixa (mas não zero). Portanto, em geral, para uma matriz aleatória \mathrm{M} com entradas inteiras pequenas, espera-se que a maioria das colunas NÃO sejam combinações de \mathrm{V1},\mathrm{V2},\mathrm{V3}. Somente as colunas “especiais” que caem no plano definido por w_1-2w_2+w_3=0 serão combinações. Logo a verificação para todas as colunas é simples: calcular o produto escalar \begin{pmatrix}1&-2&1\end{pmatrix}\mathrm{m}_j e ver se é zero.

Passo 8

Resposta a (c): verificar se \mathrm{V1},\mathrm{V2},\mathrm{V3} são linearmente independentes e escrever a dependência explicitamente.
  • Já calculámos \det A=0, portanto são linearmente dependentes.
  • Encontrámos a relação explícita
\mathrm{V1}-2\mathrm{V2}+\mathrm{V3}=0,
o que implica, por exemplo,
\mathrm{V3}=2\mathrm{V2}-\mathrm{V1}.
  • Verificação direta substituindo os vetores mostra que a igualdade vale componente a componente (veja o cálculo do Passo 4). Assim a dependência está confirmada e a expressão de \mathrm{V3} como combinação linear das outras duas está verificada.

Resposta

(a) \mathrm{V} é combinação linear de \mathrm{V1},\mathrm{V2},\mathrm{V3} se e somente se, para \mathrm{V}=(v_1,v_2,v_3)^\top, vale v_1-2v_2+v_3=0.\n
(b) Uma coluna \mathrm{m}_j de \mathrm{M} é combinação linear de \mathrm{V1},\mathrm{V2},\mathrm{V3} se e somente se (\mathrm{m}_j)_1-2(\mathrm{m}_j)_2+(\mathrm{m}_j)_3=0. Para \mathrm{M} gerada aleatoriamente espera-se que a maioria das colunas NÃO satisfaça essa condição (ou seja, em geral não serão combinações).\n
(c) \mathrm{V1},\mathrm{V2},\mathrm{V3} são linearmente dependentes. A relação é \mathrm{V1}-2\mathrm{V2}+\mathrm{V3}=0, ou equivalentemente \mathrm{V3}=2\mathrm{V2}-\mathrm{V1}.

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