1 Análise Reológica do Óleo de Milho a 38{ }^{\circ} \mathrm{C}(1,5 p t)

Óleo de milho a 38{ }^{\circ} \mathrm{C} foi submetido a testes de cisalhamento em um reômetro de cilindros concêntricos, sistema Searle ( H=11,8 \mathrm{~cm} ; R_{e}=2,6 \mathrm{~cm} ; R_{i}=2,1 \mathrm{~cm} ), cujos dados obtidos estão apresentados na tabela a seguir. Determine o comportamento reológico do óleo de milho, nessas condições, e os parâmetros do modelo que melhor descreverá seu comportamento.
Dados obtidos do óleo de milho a 38^{\circ} \mathrm{C} escoando em reômetro de cilindros concêntricos, sistema Searle
\mathrm{T} \times 10^{-6} [ \mathrm{N} \cdot \mathrm{m} ] \omega\left[\mathrm{rad} \cdot \mathrm{s}^{-}{ }^{1}\right]
38,22 0,524
91,72 1,257
129,93 1,780
168,15 2,304
196,72 2,723
229,29 3,142
252,22 3,456
305,72 4,189
336,29 4,608
420,37 5,760

Passo 1

O enunciado pede para identificar o comportamento reológico do óleo de milho a 38^\circ\mathrm{C} e obter os parâmetros do modelo que melhor o descreve, com base em medidas de torque T e velocidade angular \omega em um reômetro de cilindros concêntricos (Searle) de dimensões:
H=11{,}8\:\mathrm{cm},\quad R_e=2{,}6\:\mathrm{cm},\quad R_i=2{,}1\:\mathrm{cm}.
Para isso, precisamos converter T e \omega nos perfis de tensão de cisalhamento \tau_i e taxa de cisalhamento \dot\gamma_i na parede interna, verificar o tipo de relação \tau_i(\dot\gamma_i) e ajustar um modelo (por exemplo, Newtoniano ou lei de potência).

Passo 2

As fórmulas para o sistema Searle (cilindro interno girando, cilindro externo fixo) são:
\tau_i \;=\;\frac{T}{2\pi H\,R_i^2}, \qquad \dot\gamma_i \;=\;\frac{2\,R_e^2}{R_e^2-R_i^2}\;\omega.
Em metros: H=0{,}118\:\mathrm{m}, R_e=0{,}026\:\mathrm{m}, R_i=0{,}021\:\mathrm{m}. Calcula-se
R_e^2-R_i^2=0{,}026^2-0{,}021^2=2{,}35\times10^{-4}\:\mathrm{m}^2, \quad \frac{2\,R_e^2}{R_e^2-R_i^2} =\frac{2\cdot0{,}026^2}{2{,}35\times10^{-4}}\approx5{,}752,
e
2\pi H\,R_i^2=2\pi\cdot0{,}118\cdot(0{,}021)^2\approx3{,}268\times10^{-4}\:\mathrm{m}^3.
Logo
\tau_i\;(\mathrm{Pa})=\frac{T\;(\mathrm{N\cdot m})}{3{,}268\times10^{-4}}, \qquad \dot\gamma_i\;(\mathrm{s}^{-1})=5{,}752\,\omega\;(\mathrm{rad/s}).

Passo 3

Convertemos cada par \{T\times10^{-6},\,\omega\} em \{\tau_i,\dot\gamma_i\}. Por exemplo:
T=38{,}22\times10^{-6}\:\mathrm{N\cdot m},\quad \omega=0{,}524\:\mathrm{s^{-1}}
\tau_i=\frac{38{,}22\times10^{-6}}{3{,}268\times10^{-4}}=0{,}117\:\mathrm{Pa}, \quad \dot\gamma_i=5{,}752\times0{,}524=3{,}01\:\mathrm{s^{-1}}.
Fazendo isso para todos os dados obtemos (aprox.):
(\dot\gamma_i,\tau_i)\approx \{(3{,}01,0{,}117),\,(7{,}23,0{,}281),\,(10{,}24,0{,}398),\ldots,(33{,}14,1{,}286)\}.
Calculamos a razão \tau_i/\dot\gamma_i em vários pontos e vemos que é praticamente constante, em torno de 0{,}0388\:\mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 4

Como \tau_i é linear em \dot\gamma_i e \tau_i/\dot\gamma_i\approx\mu constante, o óleo de milho comporta-se como fluido Newtoniano. O coeficiente de viscosidade dinâmica é a média dos \tau_i/\dot\gamma_i, dando
\mu\approx0{,}0388\:\mathrm{Pa\cdot s}.

Resposta

O óleo de milho a 38^\circ\mathrm{C} apresenta comportamento Newtoniano, com
\tau=\mu\,\dot\gamma, \qquad \mu=0{,}0388\:\mathrm{Pa\cdot s}.

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