Cerveja a 0^{\circ} \mathrm{C} foi submetida ao cisalhamento em um viscosímetro de tubo ( \mathrm{D}=0,812 cm ; \mathrm{L}=115,5 \mathrm{~cm} ), cujos dados obtidos estão apresentados na tabela a seguir. Determine o comportamento reológico da cerveja, nessas condições, e os parâmetros do modelo reológico que descreverá melhor seu comportamento.
Dados obtidos de cerveja a \mathbf{0}^{\circ} \mathrm{C} escoando em viscosímetro de tubo
\Delta \mathrm{P} [Pa] \dot{\mathrm{Q}}\left[\mathrm{cm}^{3} \cdot \mathrm{~s}^{-}{ }^{1}\right]
26,76 1,90
55,46 3,94
70,49 5,01
107,50 7,64
125,65 8,93
142,11 10,1

Passo 1

O enunciado fornece dados de escoamento de cerveja a 0^\circ\mathrm{C} em um viscosímetro de tubo de diâmetro D=0{,}812\\ \mathrm{cm} e comprimento L=115{,}5\\ \mathrm{cm}, relacionando a queda de pressão \Delta P com a vazão volumétrica \dot Q. Precisamos identificar se o fluido comporta-se como Newtoniano, plástico de Bingham ou lei de potência e, em seguida, obter os parâmetros do modelo adequado. Usaremos a lei de Poiseuille para fluido Newtoniano e, se necessário, o modelo da lei de potência \tau = K\,\dot\gamma^n ou Bingham \tau = \tau_0 + \mu_p\dot\gamma.

Passo 2

Verificamos primeiro se \Delta P e \dot Q são proporcionais (com reta passando pela origem), o que indicaria comportamento Newtoniano. Para isso fazemos um ajuste linear forçado em zero:
\Delta P = m\,\dot Q.
Em unidades de \dot Q em \mathrm{cm^3/s} e \Delta P em Pa, calculamos
m \;=\;\frac{\sum_i \Delta P_i\,\dot Q_i}{\sum_i \dot Q_i^2} \;\approx\;\frac{4003{,}0}{284{,}36} \;=\;14{,}08\;\frac{\mathrm{Pa}}{\mathrm{cm^3/s}}.
Os resíduos são desprezíveis e o gráfico \Delta P versus \dot Q é uma reta quase perfeita, indicando comportamento Newtoniano.

Passo 3

Para um fluido Newtoniano em tubo circular a lei de Poiseuille dá
\dot Q = \frac{\pi\,\Delta P\,D^4}{128\,\mu\,L} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\Delta P}{\dot Q} = \frac{128\,\mu\,L}{\pi\,D^4}.
Logo
\mu = \frac{\pi\,D^4}{128\,L}\;\frac{\Delta P}{\dot Q}.

Passo 4

Fazendo a conversão para o SI:
D=0{,}812\\ \mathrm{cm}=8{,}12\times10^{-3}\\ \mathrm{m},
L=115{,}5\\ \mathrm{cm}=1{,}155\\ \mathrm{m},
e
\frac{\Delta P}{\dot Q}\bigg|_{\mathrm{SI}} =14{,}08\;\frac{\mathrm{Pa}}{\mathrm{cm^3/s}} \times10^6 =1{,}408\times10^7\;\frac{\mathrm{Pa}}{\mathrm{m^3/s}}.
Substituindo:
\mu = \frac{\pi\,(8{,}12\times10^{-3})^4}{128\times1{,}155} \times1{,}408\times10^7 \approx1{,}30\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 5

Concluímos que, nessas condições de medida, a cerveja comporta-se como fluido Newtoniano e seu coeficiente de viscosidade vale
\mu = 1{,}30\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Resposta

A cerveja comporta-se como fluido Newtoniano com
\tau = \mu\,\dot\gamma, \quad \mu = 1{,}30\times10^{-3}\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

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