Para cada uma das funções a seguir determine se ela é admissível. Caso seja, use a definição para calcular sua transformada de Laplace:
f(x)=x+2 x u3(x).

Passo 1

O exercício pede para verificar se a função é admissível (isto é, peça-wise contínua em \[0,\infty\) e de ordem exponencial) e, se for o caso, calcular sua transformada de Laplace pela definição. O conteúdo é transformada de Laplace de funções definidas a pedaços, usando a definição \[
\mathcal{L}{f}(s)=\int_{0}{\infty}f(x)e{-sx},dx.
\

Passo 2

Primeiro observamos que 0<= x<3 é uma função definida por partes: para $0\le x<3$ temos $u_{3}(x)=0$ então $f(x)=x$, e para $x\ge3$ temos $u_{3}(x)=1$ então $f(x)=x+2x=3x$. Essas expressões são contínuas em cada intervalo e só mudam num ponto isolado (x=3), logo é peça-wise contínua. Como cresce linearmente, é de ordem exponencial (por exemplo, para qualquer $s>0$), portanto é admissível.

Passo 3

Para calcular \(
\mathcal{L}{f}(s)
\) usamos a definição e quebramos a integral em dois trechos: $$
\mathcal{L}{f}(s)=\int_{0}^{3}x e{-sx}dx+\int_{3}{\infty}3x e^{-sx}dx.
$$

Passo 4

Agora fazemos cada integral separadamente por partes ou usando fórmula conhecida:
Para I1=1 - (1+3s)e^-3ss^2 vale (por partes)
$$
I_1=\frac{1 - (1+3s)e{-3s}}{s2}.
$$
Para -e^-sx(x/s + 1/s^2) usamos a antiderivada $ -e^{-sx}(x/s + 1/s^2)$ e avaliamos de 3 a infinito, obtendo
$$
I_2=e{-3s}\Bigl(\frac{9}{s}+\frac{3}{s2}\Bigr).
$$

Passo 5

Somando $I_1+I_2$ temos
$$
\mathcal{L}{f}(s)=\frac{1 - (1+3s)e{-3s}}{s2}+e{-3s}\Bigl(\frac{9}{s}+\frac{3}{s2}\Bigr)
$$
Agora juntamos termos com $e^{-3s}$:
$$
\mathcal{L}{f}(s)=\frac{1}{s2}+e{-3s}\Bigl(\frac{6}{s}+\frac{2}{s^2}\Bigr).
$$

Passo 6

Portanto a função é admissível e sua transformada de Laplace é dada pela expressão acima.

Resposta

Lf(s)=1s^2+e^-3sl(6s+2s^2r)

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