Para cada uma das funções a seguir determine se ela é admissível. Caso seja, use a definição para calcular sua transformada de Laplace:
.
Passo 1
O exercício pede para verificar se a função é admissível (isto é, peça-wise contínua em \[0,\infty\) e de ordem exponencial) e, se for o caso, calcular sua transformada de Laplace pela definição. O conteúdo é transformada de Laplace de funções definidas a pedaços, usando a definição \[
\mathcal{L}{f}(s)=\int_{0}{\infty}f(x)e{-sx},dx.
\
\mathcal{L}{f}(s)=\int_{0}{\infty}f(x)e{-sx},dx.
\
Passo 2
Primeiro observamos que
é uma função definida por partes: para $0\le x<3$ temos $u_{3}(x)=0$ então $f(x)=x$, e para $x\ge3$ temos $u_{3}(x)=1$ então $f(x)=x+2x=3x$. Essas expressões são contínuas em cada intervalo e só mudam num ponto isolado (x=3), logo é peça-wise contínua. Como cresce linearmente, é de ordem exponencial (por exemplo, para qualquer $s>0$), portanto é admissível.
Passo 3
Para calcular \(
\mathcal{L}{f}(s)
\mathcal{L}{f}(s)
\) usamos a definição e quebramos a integral em dois trechos: $$
\mathcal{L}{f}(s)=\int_{0}^{3}x e{-sx}dx+\int_{3}{\infty}3x e^{-sx}dx.
$$
\mathcal{L}{f}(s)=\int_{0}^{3}x e{-sx}dx+\int_{3}{\infty}3x e^{-sx}dx.
$$
Passo 4
Agora fazemos cada integral separadamente por partes ou usando fórmula conhecida:
Para vale (por partes)
Para
$$
I_1=\frac{1 - (1+3s)e{-3s}}{s2}.
$$
I_1=\frac{1 - (1+3s)e{-3s}}{s2}.
$$
Para
usamos a antiderivada $ -e^{-sx}(x/s + 1/s^2)$ e avaliamos de 3 a infinito, obtendo
$$
I_2=e{-3s}\Bigl(\frac{9}{s}+\frac{3}{s2}\Bigr).
$$
I_2=e{-3s}\Bigl(\frac{9}{s}+\frac{3}{s2}\Bigr).
$$
Passo 5
Somando $I_1+I_2$ temos
$$
\mathcal{L}{f}(s)=\frac{1 - (1+3s)e{-3s}}{s2}+e{-3s}\Bigl(\frac{9}{s}+\frac{3}{s2}\Bigr)
$$
\mathcal{L}{f}(s)=\frac{1 - (1+3s)e{-3s}}{s2}+e{-3s}\Bigl(\frac{9}{s}+\frac{3}{s2}\Bigr)
$$
Agora juntamos termos com $e^{-3s}$:
$$
\mathcal{L}{f}(s)=\frac{1}{s2}+e{-3s}\Bigl(\frac{6}{s}+\frac{2}{s^2}\Bigr).
$$
\mathcal{L}{f}(s)=\frac{1}{s2}+e{-3s}\Bigl(\frac{6}{s}+\frac{2}{s^2}\Bigr).
$$
Passo 6
Portanto a função é admissível e sua transformada de Laplace é dada pela expressão acima.