Analise e responda:
Dados:
O Banco Aurora ofereceu um financiamento com:
  • Valor do financiamento: R$ 180.000,00
  • Prazo: 36 meses
  • Taxa de juros: 1,3% ao mês
  • Sistema de amortização: Francês (SAF/Price)
  • Prestação fixa durante todo o contrato
O Banco Horizonte ofereceu:
  • Valor do financiamento: R$ 180.000,00
  • Prazo: 36 meses
  • Taxa de juros: 1,3% ao mês
  • Sistema de amortização: Constante (SAC)
  • Amortização igual todo mês ( A= valor / prazo)
  • Parcelas decrescentes ao longo do contrato
    Qual sistema tem menor parcela inicial (Banco Aurora ou Banco Horizonte)?

Passo 1

O que o enunciado pede: comparar a parcela inicial dos dois financiamentos e dizer qual sistema tem a menor parcela inicial (Banco Aurora — sistema Francês / Price — ou Banco Horizonte — sistema de amortização constante / SAC).
Dados fornecidos:
  • Valor financiado (principal): \,PV= \text{R\$ }180.000,00.
  • Prazo: \,n=36 meses.
  • Taxa de juros mensal: \,i=1,3\% = 0,013.
  • Banco Aurora: sistema Francês (Price), parcela fixa durante todo o contrato.
  • Banco Horizonte: sistema SAC, amortização constante igual a \,A=\dfrac{PV}{n}, parcelas decrescentes.

Passo 2

Entender e escrever a fórmula do sistema Francês (Price).
Explicação didática: no sistema Price a prestação mensal \,PMT é constante. O valor presente dessas prestações (uma anuidade imediata) deve ser igual ao principal financiado. A fórmula da anuidade usada é
PV = PMT\cdot \frac{1-(1+i)^{-n}}{i}.
Nessa fórmula:
  • \,PV é o valor presente (o quanto foi financiado);
  • \,PMT é a prestação periódica (o que queremos achar);
  • \,i é a taxa de juros por período;
  • \,n é o número de períodos.
Isolando \,PMT obtemos a fórmula prática do Price:
PMT = PV \cdot \frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}
ou equivalentemente
PMT = PV\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.

Passo 3

Calcular a prestação inicial (que é a mesma em todos os meses) do Price com os números dados.
Primeiro calcular (1+i)^{n} com \,i=0,013 e \,n=36. Aproximação por exponencial/serie:
(1+i)^{n}=(1,013)^{36}\approx 1,5918.
Agora calcular o fator da anuidade:
\text{fator}=\frac{i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1} =\frac{0,013\cdot 1,5918}{1,5918-1} =\frac{0,0206934}{0,5918}\approx 0,034974.
Portanto a prestação constante é
PMT = PV\cdot \text{fator} = \text{R\$}180.000{,}00 \times 0{,}034974 \approx \text{R\$ }6.295{,}32.
Obs.: a prestação do Price é igual nos 36 meses; esse é o valor inicial também.

Passo 4

Entender e aplicar o sistema SAC (amortização constante).
Explicação didática: no SAC a amortização mensal \,A é constante e igual a \dfrac{PV}{n}. Os juros de cada mês são calculados sobre o saldo devedor do mês anterior; assim as parcelas começam maiores e decrescem porque os juros vão diminuindo.
Calcular a amortização mensal:
A=\frac{PV}{n}=\frac{\text{R\$}180.000{,}00}{36}=\text{R\$ }5.000{,}00.
Juros do primeiro mês (sobre o saldo inicial igual ao PV):
J_1 = PV\cdot i = \text{R\$}180.000{,}00 \times 0{,}013 = \text{R\$ }2.340{,}00.
Logo a parcela do primeiro mês no SAC é
P_1 = A + J_1 = \text{R\$}5.000{,}00 + \text{R\$ }2.340{,}00 = \text{R\$ }7.340{,}00.

Passo 5

Comparação dos valores iniciais calculados:
  • Parcela inicial do Price (Banco Aurora): \text{R\$ }6.295{,}32.
  • Parcela inicial do SAC (Banco Horizonte): \text{R\$ }7.340{,}00.
Portanto a parcela inicial do Price é menor do que a parcela inicial do SAC. Lembrete prático: no SAC a amortização fixa torna a primeira parcela alta porque os juros incidem sobre o saldo total; no Price a parcela é “nivelada” ao longo do tempo e começa menor que a primeira parcela do SAC.

Resposta

Banco Aurora — parcela inicial: \text{R\$}6.295{,}32 (menor que a do Banco Horizonte: \text{R\$ }7.340{,}00).

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